Відкрити головне меню

Рівня́ння Гамільто́на — Я́кобі — рівняння у часткових похідних, яке повністю визначає еволюцію гамільтонової системи класичної механіки.

Класична механіка

Другий закон Ньютона
Історія класичної механіки

Рівняння формулюється так:

.

Тут  — функція Гамільтона для системи із узагальненими координатами і узагальненими імпульсами , де пробігає значення від одиниці до кількості ступенів свободи гамільтонової системи .

Зміст

Визначення еволюції узагальнених координат та імпульсівРедагувати

  — це функція узагальнених координат   і часу, яка має розмірність дії.

Рівняння Гамільтона — Якобі це рівняння в часткових похідних першого порядку відносно функції  . Його розв'язок залежить від   параметрів інтегрування, які можна позначити  . Запишемо цей розв'язок у вигляді  . Тоді еволюція узагальнених змінних системи визначається з розв'язку такої системи алгебраїчних рівнянь:

 
 

де   — це ще   нових параметрів інтегрування.

Теорія відносностіРедагувати

Для вільної частинки в теорії відносності рівняння Гамільтона — Якобі має вигляд:

 ,

де с — швидкість світла в порожнечі

Загальна теорія відносностіРедагувати

У рамках загальної теорії відносності в рівнянні Гамільтона — Якобі враховується загальний вираз для метрики простору-часу і рівняння набирає вигляду

 .

Метрика простору-часу   визначається в загальному випадку також гравітаційними полями, тож це рівняння справедливе не лише для вільної частинки, а й для частинки в гравітаційному полі.

ЗначенняРедагувати

Рівняння Гамільтона — Якобі загалом інтегрувати складніше, ніж вихідні рівняння гамільтонової механіки, проте воно є зручним засобом для побудови наближень.

Загальний вигляд рівняння Гамільтона — Якобі нагадує квантовомеханічне рівняння Шредінгера. Доведено, що для макроскопічних тіл рівняння Шредінгера зводиться до класичного рівняння Гамільтона — Якобі (дивіться Квазікласичне наближення).

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
  • Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К. : Вища школа, 1975. — 516 с.
  • Голдстейн Г. Классическая механика. — М. : Наука, 1975. — 416 с.
  • Лич Дж. У. Классическая механика. — М. : ИЛ, 1961. — 174 с.