Рівняння Гамільтона — Якобі

Рівня́ння Гамільто́на — Я́кобі — рівняння у часткових похідних, яке повністю визначає еволюцію гамільтонової системи класичної механіки.

Рівняння формулюється так:

{\frac {\partial S}{\partial t}}+{\mathcal {H}}\left(q_{i},{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}},t\right)=0

.

Тут ${\mathcal {H}}(q_{i},p_{i},t)$ — функція Гамільтона для системи із узагальненими координатами $q_{i}$ і узагальненими імпульсами $p_{i}$ , де $i$ пробігає значення від одиниці до кількості ступенів свободи гамільтонової системи $n$ .

Визначення еволюції узагальнених координат та імпульсів

$S$ — це функція узагальнених координат $q_{i}$ і часу, яка має розмірність дії.

Рівняння Гамільтона — Якобі це рівняння в часткових похідних першого порядку відносно функції $S$ . Його розв'язок залежить від $f$ параметрів інтегрування, які можна позначити $Q_{i}$ . Запишемо цей розв'язок у вигляді $S(t,q_{i},Q_{i})$ . Тоді еволюція узагальнених змінних системи визначається з розв'язку такої системи алгебраїчних рівнянь:

p_{i}={\frac {\partial S(t,q_{i},Q_{i})}{\partial q_{i}}}

P_{i}=-{\frac {\partial S(t,q_{i},Q_{i})}{\partial Q_{i}}}

де $P_{i}$ — це ще $n$ нових параметрів інтегрування.

Теорія відносності

Для вільної частинки в теорії відносності рівняння Гамільтона — Якобі має вигляд:

{\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\partial S}{\partial t}}\right)^{2}-\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}-\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}-\left({\frac {\partial S}{\partial z}}\right)^{2}=m^{2}c^{2}

,

де с — швидкість світла в порожнечі

Загальна теорія відносності

У рамках загальної теорії відносності в рівнянні Гамільтона — Якобі враховується загальний вираз для метрики простору-часу і рівняння набирає вигляду

g^{ij}{\frac {\partial S}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{j}}}+m^{2}c^{2}=0

.

Метрика простору-часу $g_{ij}$ визначається в загальному випадку також гравітаційними полями, тож це рівняння справедливе не лише для вільної частинки, а й для частинки в гравітаційному полі.

Значення

Рівняння Гамільтона — Якобі загалом інтегрувати складніше, ніж вихідні рівняння гамільтонової механіки, проте воно є зручним засобом для побудови наближень.

Загальний вигляд рівняння Гамільтона — Якобі нагадує квантовомеханічне рівняння Шредінгера. Доведено, що для макроскопічних тіл рівняння Шредінгера зводиться до класичного рівняння Гамільтона — Якобі (дивіться Квазікласичне наближення).

Див. також

Література

Єжов С. М., Макарець М. В., Романенко О. В. Класична механіка. — К. : ВПЦ "Київський університет", 2008. — 480 с.
Федорченко А. М. Теоретична механіка. — К. : Вища школа, 1975. — 516 с.
Голдстейн Г. Классическая механика. — М. : Наука, 1975. — 416 с.
Лич Дж. У. Классическая механика. — М. : ИЛ, 1961. — 174 с.