Рівняння Бете — Солпітера

Рівняння Бете — Солпітера (назване на честь Ганса Бете та Едвіна Солпітера) описує зв'язані стани квантовопольової системи двох тіл (частинок) у рамках релятивістськи інваріантного формалізму. Першим рівняння опублікував у 1950-му Йоїтіро Намбу, але не навів доведення.

Графічне подання рівняння Бете-Солпітера з ілюстрацією рекурсивного означення

Через загальність та застосування в численних підрозділах теоретичної фізики рівняння Бете-Солпітера має багато різних форм. Форма, що часто використовується у фізиці високих енергій, має вигляд

$\Gamma (P,p)=\int \!{\frac {d^{4}k}{(2\pi )^{4}}}\;K(P,p,k)\,S(k-{\tfrac {P}{2}})\,\Gamma (P,k)\,S(k+{\tfrac {P}{2}})$

де Γ — амплітуда Бете-Солпетера, K — взаємодія, а S  — пропагатори двох частинок.

У квантовій теорії зв'язані стани живуть нескінченно довго (інакше їх називають резонансами), тому складові взаємодіють нескінченну кількість разів. У підсумку, за нескінченну кількість разів між двома частинками реалізуються усі можливі взаємодії, а рівняння Бете-Солпітера є інструментом для розрахунку властивостей зв'язаних станів. Розв'язок цього рівняння, амплітуда Бете-Солпітера, описує зв'язаний стан, що є предметом інтересу.

Оскільки його можна вивести, ідентифікуючи зв'язані стани з полюсами S-матриці, його можна зв'язати з квантовим описом процесів розсіяння і функцією Гріна.

Рівняння Бете-Солпітера — загальний інструмент квантової теорії поля, тож воно зустрічається у будь-якій квантовопольовій теорії. Прикладами можуть слугувати позитроній (зв'язаний стан електрон-позитронної пари), екситони (зв'язаний стан електрона і дірки) та мезони (зв'язаний стан кварка й антикварка).

Навіть для простих систем, таких як позитроній рівняння не розв'язується точно, хоча в принципі його можна сформулювати точно. Класифікацію станів можна провести без точного розв'язку. Якщо одна з частинок значно масивніша за іншу, задача значно спрощується, оскільки зводиться до рівняння Дірака для легшої частинки в зовнішньому потенціалі важчої частинки.

Вивід

Вихідним пунктом виводу рівняння Бете-Солпітера є двочастинкове (чотириточкове) рівняння Дайсона

$G=S_{1}\,S_{2}+S_{1}\,S_{2}\,K_{12}\,G$

в імпульсному просторі. Тут "G" — двочастинкова функція Гріна $\langle \Omega |\phi _{1}\,\phi _{2}\,\phi _{3}\,\phi _{4}|\Omega \rangle$, "S" — вільні попагатори, а "K" — ядро взаємодії, в якому містяться всі можливі взаємодії між двома частинками. Тепер важливим кроком є припущення про те, що зв'язані стани проявляються як полюси функції Гріна. Припускається, що дві частинки сходяться й утворюють зв'язаний стан із масою "M", цей зв'язаний стан розповсюджується вільно, а потім знову розпадається на дві складові. Таким чином, вводиться хвильова функція Бете-Солпітера $\Psi =\langle \Omega |\phi _{1}\,\phi _{2}|\psi \rangle$, що є перехідною амплітудою двох складових $\phi _{i}$ у зв'язаний стан $\psi$, а тоді утворює анзац для функції Гріна поблизу полюса у формі

$G\approx {\frac {\Psi \;{\bar {\Psi }}}{P^{2}-M^{2}}},$

де P — повний імпульс системи. Очевидно, якщо для цього імпульсу виконується $P^{2}=M^{2}$, а це співвідношення між енергією та імпульсом у теорії відносності (де 4-імпульс $P_{\mu }=\left(E/c,{\vec {p}}\right)$ та $P^{2}=P_{\mu }\,P^{\mu }$ ), чотириточкова функція Гріна має полюс. Якщо підставити цей анзац у рівняння Дайсона і задати повний імпульс "P" так, щоб виконувалося релятивістське співвідношення між енергією та імпульсом, полюс виникає по обидва боки від знаку рівності.

${\frac {\Psi \;{\bar {\Psi }}}{P^{2}-M^{2}}}=S_{1}\,S_{2}+S_{1}\,S_{2}\,K_{12}{\frac {\Psi \;{\bar {\Psi }}}{P^{2}-M^{2}}}$

Порівняння лишків дає:

$\Psi =S_{1}\,S_{2}\,K_{12}\Psi ,\,$

Це вже рівняння Бете-Солпітера, записане через хвильову функцію Бете-Солпітера. Щоб отримати наведену вище формулу треба ввести амплітуду Бете-Солпітера "Γ"

$\Psi =S_{1}\,S_{2}\,\Gamma$

і оримати

$\Gamma =K_{12}\,S_{1}\,S_{2}\,\Gamma ,$

що й записано вище з явною залежністю від імпульсу.

Наближення веселки-східців

Графічне подання рівняння Бете-Солпітера в наближенні східців

У принципі ядро K містить усі можливі незвідні двочастинкові взаємодії, що можуть статися між двома складовими. Тож, для практичних розрахунків необхідно моделювати взаємодію, вибираючи тільки підмножину взаємодій. Як і в квантовій теорії поля, взаємодія описується через обмін частинками (наприклад, фононами в квантовій електродинаміці або глюонами в квантовій хромодинаміці), найпростіша взаємодія зводиться до тільки одної такої силової частинки.

Оскільки рівняння Бете-Солпітера підсумовує взаємодію нескінченне число разів, відповідна діаграма Фейнмана має вигляд східців (веселки).

Тоді як у квантовій електродинаміці наближення східців призводить до проблем з перехресною симетрією та калібрувальною інваріантністю, а тому вимагає включення перехресних східцевих членів, у квантовій хромодинаміці це наближення доволі часто використовується феноменологічно для розрахунку мас адронів, оскільки воно зберігає порушення хіральної симетрії, а тому є важливим внеском у генерацію цих мас.

Нормування

Як для будь-якого однорідного рівняння, розв'язок рівняння Бете-Солпітера визначений тільки з точністю до множника. Цей множник потрібно уточнити, накладаючи певні умови нормування. Для амплітуд Бете-Солпітера це зазвичай означає вимогу збереження ймовірності (аналогічно нормуванню квантмеханічної хвильової функції), що відповідає рівнянню

$2P_{\mu }={\bar {\Gamma }}\left({\frac {\partial }{\partial P_{\mu }}}\left(S_{1}\otimes S_{2}\right)-S_{1}\,S_{2}\,\left({\frac {\partial }{\partial P_{\mu }}}\,K\right)\,S_{1}\,S_{2}\right)\Gamma$

Нормування заряду та тензора енергії-імпульсу зв'язаного стану веде до того ж рівняння. У східцевому наближенні ядро взаємодії не залежить від повного імпульсу амплітуди Бете-Солпітера, а тому, у цьому випадку другий член умови нормування зникає.

Див. також

• ABINIT
• Поправка Аракі-Зухера
• Рівняння Брейта
• Рівняння Ліппманна — Швінгера
• Рівняння Швінгера
• Рівняння Дірака для двох тіл
• YAMBO

Література

Many modern quantum field theory textbooks and a few articles provide pedagogical accounts for the Bethe–Salpeter equation's context and uses. See:

• W. Greiner, J. Reinhardt (2003). Quantum Electrodynamics (вид. 3rd). Springer. ISBN 978-3-540-44029-1.
• Z.K. Silagadze (1998). «Wick–Cutkosky model: An introduction». arXiv:hep-ph/9803307. 

Still a good introduction is given by the review article of Nakanishi

• N. Nakanishi (1969). A general survey of the theory of the Bethe–Salpeter equation. Progress of Theoretical Physics Supplement. 43: 1—81. Bibcode:1969PThPS..43....1N. doi:10.1143/PTPS.43.1.

For historical aspects, see

• E.E. Salpeter (2008). Bethe–Salpeter equation (origins). Scholarpedia. 3 (11): 7483. arXiv:0811.1050. Bibcode:2008SchpJ...3.7483S. doi:10.4249/scholarpedia.7483.{{cite journal}}: Обслуговування CS1: Сторінки із непозначеним DOI з безкоштовним доступом (посилання)

Посилання

• BerkeleyGW — метод псевдопотенціалу для плоских хвиль
• ExC — плоскі хвилі
• Fiesta — Gaussian all-electron method