Розподіл Накаґамі

Розподіл Накаґамі — розподіл імовірностей випадкової величини $\displaystyle X$, що відноситься до Гамма-розподілу. Характеризується двома параметрами: параметр форми $m\geq 1/2$, та параметр, що контролює статистичну дисперсію $\Omega >0$.

Розподіл Накаґамі
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	$m\ or\ \mu \geq 0.5$ форма (дійсний) $\Omega \ or\ \omega >0$ дисперсія (дійсна)
Носій функції	$x>0\!$
Розподіл імовірностей	${\frac {2m^{m}}{\Gamma (m)\Omega ^{m}}}x^{2m-1}\exp \left(-{\frac {m}{\Omega }}x^{2}\right)$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\frac {\gamma \left(m,{\frac {m}{\Omega }}x^{2}\right)}{\Gamma (m)}}$
Середнє	${\frac {\Gamma (m+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (m)}}\left({\frac {\Omega }{m}}\right)^{1/2}$
Медіана	Немає простої закритої форми
Мода	${\frac {\sqrt {2}}{2}}\left({\frac {(2m-1)\Omega }{m}}\right)^{1/2}$
Дисперсія	$\Omega \left(1-{\frac {1}{m}}\left({\frac {\Gamma (m+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (m)}}\right)^{2}\right)$

Властивості

Щільність розподілу обчислюється за формулою:

$f(x;\,m,\Omega )={\frac {2m^{m}}{\Gamma (m)\Omega ^{m}}}x^{2m-1}\exp \left(-{\frac {m}{\Omega }}x^{2}\right)$ $\quad \forall x\geq 0~~(m\geq 1/2,{\text{ and }}\Omega >0),$

де $\Gamma (z)$ — гамма-функція.

Відповідна функція розподілу ймовірностей має вигляд:

$F(x;\,m,\Omega )=P\left(m,{\frac {m}{\Omega }}x^{2}\right)$

де $P$ — неповна гамма-функція.

Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини з розподілом Накаґамі виражається як:

$mu(X)={\frac {\Gamma (m+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (m)}}\left({\frac {\Omega }{m}}\right)^{1/2}$

і

${\textrm {var}}(X)=\Omega \left(1-{\frac {1}{m}}\left({\frac {\Gamma (m+{\frac {1}{2}})}{\Gamma (m)}}\right)^{2}\right)$

Оцінка параметрів

Параметри $m$ та $\Omega$ оцінюються наступним образом:

$m={\frac {\operatorname {E} ^{2}\left[X^{2}\right]}{\operatorname {Var} \left[X^{2}\right]}},$

та

$\Omega =\operatorname {E} \left[X^{2}\right].$

Див. також

• Розподіл Рейлі