Розподіл Рейлі або розподіл Релея — це розподіл імовірностей випадкової величини із щільністю

Розподіл Релея

Plot of the Rayleigh PDF
Функція розподілу ймовірностей
Plot of the Rayleigh CDF
Параметри
Носій функції
Розподіл ймовірностей
Функція розподілу ймовірностей (cdf)
Середнє
Медіана
Мода
Дисперсія
Коефіцієнт асиметрії
Коефіцієнт ексцесу
Ентропія
Твірна функція моментів (mgf)
Характеристична функція

де  — параметр масштабу. Відповідна функція розподілу має вигляд

Введено вперше в 1880 р. Джоном Вільямом Стреттом (лордом Релеєм) у зв'язку з задачею додавання гармонійних коливань з випадковими фазами.

ВластивостіРедагувати

Моменти випадкової величини з розподілом Релея обчислюються за формулою:

 

де   — Гамма-функція.

Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини з розподілом Релея виражається як:

 

і

 

Мода дорівнює  , а максимум щільності

 

Коефіцієнт асиметрії задається як:

 

Формула для обчислення коефіцієнта ексцесу:

 

Характеристична функція задається формулою:

 

де   — комплексна функція помилок. Формула для твірної функції моментів

 
 

де   — функція помилок.

Ентропія інформаціїРедагувати

Ентропія інформації задається як

 

де   — стала Ейлера — Маскероні.

ЗастосуванняРедагувати

  • У задачах про пристрілювання гармат. Якщо відхилення від цілі для двох взаємно перпендикулярних напрямків нормально розподілені і некорельовані, координати цілі збігаються з початком координат, то позначивши розкид по осях за   і  , отримаємо вираз величини промаху у формі  . У цьому випадку величина   має розподіл Релея.
  • У радіотехніці для опису амплітудних флуктуацій радіосигналу.
  • Щільність розподілу випромінювання абсолютно чорного тіла по частотах.

Зв'язок з іншими розподіламиРедагувати

  • Якщо   і   — незалежні випадкові величини з розподілом Гауса, що мають нульові математичні сподівання і однакові дисперсії  , то випадкова величина   має розподіл Релея.
  • Якщо незалежні Гаусівскі випадкові величини   і   мають ненульові математичні сподівання, у загальному випадку нерівні, то розподіл Релея переходить у розподіл Райса.
  • Щільність розподілу квадрата рейлівскої величини з   має розподіл хі-квадрат із двома ступенями свободи.

Див. такожРедагувати