У математиці, результантом двох многочленів і над деяким полем , зі старшими коефіцієнтами рівними одиниці, називається вираз

іншими словами, результант дорівнює добутку попарних різниць між їхніми коренями. Добуток береться за всіма коренями в алгебричному замиканні поля з урахуванням їх кратностей; оскільки вираз, що виходить, є симетричним многочленом від коренів многочленів і (які, можливо не належать полю ), його можна записати як многочлен від коефіцієнтів і . Для многочленів, старші коефіцієнти яких ( і відповідно) не обов'язково рівні 1, наведений вище вираз домножується на

Властивості і способи обчислення

ред.
  • Основна властивість результанта (і його основне застосування): результант — многочлен від коефіцієнтів   і  , рівний нулю в тому і лише в тому випадку, коли многочлени   і   мають спільний корінь (можливо, в деякому розширенні поля  ).
  • Результант дорівнює визначнику матриці Сильвестра.
  • Дискримінант многочлена p можна визначити через результант p і його похідну p'.
  де pn — старший коефіцієнт многочлена p.
Для доведення спершу розглянемо випадок pn=1. Тоді маємо   і при   виконується рівність:
 
Звідси одержуємо:
 
Звідси й одержується частковий випадок рівняння. Загальний випадок одержується якщо врахувати, що при домноженні многочлена p на константу pn результант res(p, p') домножується на p2n-1, а дискримінант D(p) домножується на p2n-2
  • Результант рівний добутку значень одного з многочленів за коренями іншого (як і раніше, добуток береться з урахуванням кратності коренів):
 
  •  
  •  
  • Якщо   і  , тоді  
  • Якщо   є многочленами однакових степенів і  ,
тоді    
  •    де   

Посилання

ред.