Радикал Брінга чи ультрарадикал від дійсного числа це єдиний дійсний корінь многочлена

Графік функції радикала Брінга для дійсного аргумента

Позначається Для дійсного аргумента, це спадна необмежена непарна функція, з асимптотою для великих значень .

Джордж Жерард показав, що рівняння п'ятого степеня можуть бути розв'язані у закритій формі використовуючи радикали та Брінгові радикали, які були введені Ерландом Брінгом.

Нормальні форми рівняння п'ятого степеня

ред.

Загальна форма рівняння п'ятого степеня:

 

Існують різні методи спрощення, що використовують перетворення Чірнхауса скорочення ненульових коефіцієнтів:

Первинна форма

ред.

Форма без 4-го степеня та куба:

 

називається первинною і може бути отримана квадратичним перетворенням Чірнхауса, що пов'язує корені загальної і первинної форм

 

коефіцієнти α та β можуть бути отримані з результанта чи тотожностей Ньютона.

Форма Брінга—Жерарда

ред.

Можливо також занулити коефіцієнт при квадраті, це форма Брінга—Жерарда:

 

Кубічне перетворення Чірнхауса не допомагає, бо приводить до рівняння 6-го степеня.

Але в 1786 році Брінг знайшов перетворення Чірнхауса 4-го степеня:

 

що приводить до системи 5 рівнянь з 6 невідомими, де потрібно розв'язувати кубічні і квадратні рівняння. Цей метод також був відкритий Джорджем Жерардом в 1832.

Таку систему краще розв'язувати в одній із систем комп'ютерної алгебри, оскільки запис розв'язку є незрівнянно довшим за розв'язок рівняння четвертого степеня.

Далі лінійною заміною змінної можна звести до форми від одного коефіцієнта:

 

яка використовується в методах розв'язку Ерміта—Кронекера—Брілші, Глассера, Коклі—Харлі з різними резольвентами.

Загальний розв'язок рівняння 5-го ступеня

ред.

Корені многочлена

 

Можуть бути отримані використовуючи радикал Брінга:

 


Джерела

ред.
  • Hazewinkel, M. (2001), transformation Tschirnhausen transformation, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
  • Weisstein, Eric W. Bring–Jerrard Quintic Form(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  • Weisstein, Eric W. Bring Quintic Form(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  • Weisstein, Eric W. Ultraradical(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.