Перетворення Чірнхауса

Перетворення Чірнхауса — перетворення многочлена $P(x)$ з коренями $x_{1},...,x_{n}$ в многочлен $Q(x)$ з коренями $\varphi (x_{1}),\dots ,\varphi (x_{n})$, де $\varphi (x)$ — також многочлен. Коефіцієнти $Q$ можуть бути виражені через коефіцієнти $P$ та $\varphi$.

Використовується для розв'язання рівнянь 3-го, 4-го степеня і спрощення загального вигляду рівнянь вищих степенів.

Лінійна заміна змінної

Використовуючи формулу бінома Ньютона, алгебричне рівняння

$x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\dots +a_{n}=0,\qquad n>1,$

заміною $y=x+{\frac {a_{1}}{n}}$ можна позбавити від ненульового коефіцієнта при степені $y^{n-1}$.

Так розв'язують квадратне рівняння та приводять кубічне рівняння до зведеної форми.

Рівняння степенів n > 2

В 1683 році німецький математик Еренфрід Вальтер фон Чірнхаус показав квадратичне перетворення:

$y_{k}=x_{k}^{2}+\alpha x_{k}^{1}+\beta ,$

що позволяє звільнити рівняня степеня n > 2 від ненульових коефіцієнтів при $y^{n-1}$, $y^{n-2}$.

Рівняння степенів n > 4

Існує перетворення Чірнхауса 4-го степеня:

$y_{k}=x_{k}^{4}+\alpha x_{k}^{3}+\beta x_{k}^{2}+\gamma x_{k}+\delta \,$

що позволяє звільнити рівняня степеня n > 4 від ненульових коефіцієнтів при $y^{n-1}$, $y^{n-2}$ та $y^{n-3}$.

Для n=5 цей результат був отриманий Брінгом в 1786, а для загального випадку Джерардом в 1834.

Після проведення ще однієї додаткової пропорційної заміни змінної, рівняння 5-го, 6-го і 7-го степенів зводились до виду:

$x^{5}+ax+1=0$,

$x^{6}+ax^{2}+bx+1=0,$

$x^{7}+ax^{3}+bx^{2}+cx+1=0$

від одного, двох і трьох параметрів відповідно.

Про розв'язок рівняння 7-го степеня, який є функцією трьох змінних йдеться в 13-ій проблемі Гільберта.

Узагальнення

Докладніше, нехай $K$ – поле, а $P(t)$ – многочлен від $K$. Якщо $P$ є незвідним, то фактор-кільце кільця многочленів $K[t]$ на головний ідеал, породжений $P$,

$K[t]/(P(t))=L$,

є розширення поля $K$. Ми маємо

$L=K(\alpha )$

де $\alpha$ = $t$ modulo $(P)$. Тобто будь-який елемент $L$ є многочленом від $\alpha$, таким чином, є первісним елементом $L$. Інші варіанти $\beta$ первісного елемента в $L$: для будь-якого такого вибору $\beta$ ми матимемо за визначенням:

$\beta =F(\alpha ),\alpha =G(\beta )$,

з многочленами $F$ і $G$ над $K$. Тепер, якщо $Q$ є мінімальним многочленом для $\beta$ над $K$, ми можемо назвати $Q$ перетворенням Чірнхауса $P$.

Тому множину всіх перетворень Чирнгауса незвідного многочлена слід описувати як множину всіх змін $P$, що залишає нерухомим $L$. Існує зв’язок із теорією Галуа, коли $L$ є розширенням Галуа $K$. Тоді групу Галуа можна розглядати як усі перетворення Чирнгауса $P$ до самого себе.

Джерела

• Weisstein, Eric W. Tschirnhausen Transformation(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.