Перетворення Чірнхауса

Перетворення Чірнхауса — перетворення многочлена з коренями в многочлен з коренями , де  — також многочлен. Коефіцієнти можуть бути виражені через коефіцієнти та .

Використовується для розв'язання рівнянь 3-го, 4-го степеня і спрощення загального вигляду рівнянь вищих степенів.

Лінійна заміна змінноїРедагувати

Використовуючи формулу бінома Ньютона, алгебричне рівняння

 

заміною   можна позбавити від ненульового коефіцієнта при степені  .

Так розв'язують квадратне рівняння та приводять кубічне рівняння до зведеної форми.

Рівняння степенів n > 2Редагувати

В 1683 році німецький математик Еренфрід Вальтер фон Чірнхаус показав квадратичне перетворення:

 

що позволяє звільнити рівняня степеня n > 2 від ненульових коефіцієнтів при  ,  .

Рівняння степенів n > 4Редагувати

Існує перетворення Чірнхауса 4-го степеня:

 

що позволяє звільнити рівняня степеня n > 4 від ненульових коефіцієнтів при  ,   та  .

Для n=5 цей результат був отриманий Брінгом в 1786, а для загального випадку Джерардом в 1834.

Після проведення ще однієї додаткової пропорційної заміни змінної, рівняння 5-го, 6-го і 7-го степенів зводились до виду:

 ,
 
 

від одного, двох і трьох параметрів відповідно.

Про розв'язок рівняння 7-го степеня, який є функцією трьох змінних йдеться в 13-ій проблемі Гільберта.

УзагальненняРедагувати

Докладніше, нехай   – поле, а   – многочлен від  . Якщо   є незвідним, то фактор-кільце кільця многочленів   на головний ідеал, породжений  ,

 ,

є розширення поля  . Ми маємо

 

де   =   modulo  . Тобто будь-який елемент   є многочленом від  , таким чином, є первісним елементом  . Інші варіанти   первісного елемента в  : для будь-якого такого вибору   ми матимемо за визначенням:

 ,

з многочленами   і   над  . Тепер, якщо   є мінімальним многочленом для   над  , ми можемо назвати   перетворенням Чірнхауса  .

Тому множину всіх перетворень Чирнгауса незвідного многочлена слід описувати як множину всіх змін  , що залишає нерухомим  . Існує зв’язок із теорією Галуа, коли   є розширенням Галуа  . Тоді групу Галуа можна розглядати як усі перетворення Чирнгауса   до самого себе.

ДжерелаРедагувати