Прямий круговий циліндр

Прямий круговий циліндр — це циліндр, твірні якого перпендикулярні до основ. Таким чином, у прямому круговому циліндрі твірна і висота мають однакові розміри^[1]. Його також називають циліндром обертання, оскільки його можна отримати обертанням прямокутника зі сторінами $r$ і $g$ навколо однієї з його сторін. Закріпивши $g$ як сторону, навколо якої відбувається обертання, ми отримуємо, що сторона $r$ , перпендикулярна до $g$ , буде радіусом циліндра^[2].

Окрім прямого кругового циліндра, існує також похилий круговий циліндр, який характеризується відсутністю твірних, перпендикулярних до основ^[3].

Прикладами об’єктів, які мають форму правильного круглого циліндра, є деякі банки та свічки.

Елементи прямого кругового циліндра

Основи: два паралельних і рівних кола^[4];

Вісь: пряма, визначена двома центрами основ циліндра^[1];

Висота: відстань між двома площинами основ циліндра^[2];

Твірні (гератриси): відрізки, що паралельні осі і закінчуються в точках кіл основ^[2].

Бічна площа та площа поверхні

Зображення циліндра та розгортка його бічної поверхні.

Бічна поверхня прямого циліндра складається з твірних^[3]. Її площу можна отримати шляхом добутку довжини кола основи на висоту циліндра. Отже, площа бічної поверхні визначається як:

${\textstyle S_{0}=2\pi rh}$ ^[2].

$S_{0}\,$ – площа бічної поверхні циліндра;
$\pi \,$ становить приблизно 3,14;
$r\,$ – відстань між бічною поверхнею циліндра та віссю, тобто значення радіуса основи;
$h\,$ – висота циліндра;
$2\pi r$ — довжина кола основи, оскільки $\pi ={\frac {C}{2r}}$ , тобто, $C=2\pi r$ ^[5].

Зауважте, що у випадку прямого кругового циліндра висота й твірна мають однакові розміри, тому бічна площа також може бути задана за формулою:

$S_{0}=2\pi rg$ .

Площа основи циліндра дорівнює площі круга (в цьому випадку ми покладемо, що круг має радіус $r$ ):

$S_{1}=\pi r^{2}$ .

Щоб обчислити загальну площу прямого кругового циліндра, потрібно просто додати площу бічної сторони до площі двох основ:

$S=S_{0}+2\cdot S_{1}$ .

Заміна $S_{0}=2\pi rh$ і $S_{1}=\pi r^{2}$ , ми маємо:

$S=2\pi rh+2\pi r^{2}$ $\Rightarrow S=2\pi r(h+r)$

або навіть

$S=2\pi r(g+r)$ .

Об'єм

Ілюстрація циліндра та призми з висотою

h

. Зверніть увагу, що площа основи кожного тіла дорівнює

S

.

Відповідно да принципа Кавальєрі, який визначає, що якщо два тіла однакової висоти з конгруентними площами основи розташованими на одній площині перетинає будь-яка інша площина, паралельна цій площині, вона утворює як перерізи два багатокутники з однаковими площами^[6], тому об’єми двох тіл будуть однаковими. Використовуючи цей факт, можна визначити об’єм циліндра.

Об’єм циліндра можна отримати так само, як об’єм призми з тією ж висотою і такою ж площею основи. Тому просто помножте площу основи на висоту:

$V=S\cdot h$ .

Оскільки площа круга радіуса $r\,$ , який є основою циліндра, задається формулою $S=\pi r^{2}$ , то з цього випливає, що:

$V=\pi r^{2}h$ ^[2]

або навіть

$V=\pi r^{2}g$ .

Рівносторонній циліндр

Ілюстрація циліндра, описаного навколо сфери радіуса

r

. Зверніть увагу, що циліндр рівносторонній.

Рівносторонній циліндр – це правильний круговий циліндр, у якого діаметр основи дорівнює висоті (твірній)^[4].

Тоді, вважаючи, що радіус основи рівностороннього циліндра дорівнює $r\,$ , маємо, що діаметр основи цього циліндра дорівнює $2r\,$ а його висота становить $2r\,$ ^[4].

Його бічну площу можна отримати, замінивши значення висоти на $2r$ :

$S_{0}=2\pi r\cdot 2r$ $\Rightarrow S_{0}=4\pi r^{2}$ .

Аналогічним чином можна отримати результат для площі всієї поверхні:

$S=2\pi r(h+r)$ $\Rightarrow S=2\pi r(2r+r)$ $\Rightarrow S=2\pi r\cdot 3r$ $\Rightarrow S=6\pi r^{2}$ .

Для рівностороннього циліндра можна отримати більш просту формулу для обчислення об’єму. Просто замініть висоту на подвоєний радіус у формулі об’єму прямого кругового циліндра:

$V=\pi r^{2}\cdot h$ $\Rightarrow V=\pi r^{2}\cdot 2r$ $\Rightarrow V=2\pi r^{3}$ .

Осьовий переріз

Осьовий переріз – це перетин площини, що містить вісь циліндра, і циліндра^[4].

У випадку прямого кругового циліндра осьовий переріз є прямокутником, оскільки твірна перпендикулярна до основи. Рівносторонній циліндр має квадратний осьовий переріз, оскільки його висота дорівнює діаметру основи^[1] ^[4].

Див. також

Примітки

↑ ^а ^б ^в Giovanni; Giovanni Jr.; Bonjorno (2011). Matemática fundamental: uma nova abordagem.
↑ ^а ^б ^в ^г ^д Conexões com a matemática. 2010.
↑ ^а ^б Paiva (2004). Matemática.
↑ ^а ^б ^в ^г ^д Dolce; Pompeo (2005). Fundamentos da matemática elementar, 10: geometria espacial, posição e métrica.
↑ Dolce; Pompeo (2013). Fundamentos da matemática elementar 9: geometria plana.
↑ Balestri, Rodrigo (2016). Matemática: interação e tecnologia (порт.) (вид. 2). São Paulo: Leya.

Бібліографія

Balestri, Rodrigo (2016). Matemática: interação e tecnologia (in Portuguese) (2 ed.). São Paulo: Leya.
Conexões com a matemática (in Portuguese) (1 ed.). São Paulo: Moderna. 2010.
Dolce, Osvaldo; Pompeo, José Nicolau (2013). Fundamentos da matemática elementar 9: geometria plana (in Portuguese) (9 ed.). São Paulo: Atual.
Dolce, Osvaldo; Pompeo, José Nicolau (2005). Fundamentos da matemática elementar, 10: geometria espacial, posição e métrica (in Portuguese). São Paulo: Atual.
Giovanni, José Ruy; Giovanni Jr., José Ruy; Bonjorno, José Roberto (2011). Matemática fundamental: uma nova abordagem (in Portuguese). São Paulo: FTD.
Paiva, Manoel (2004). Matemática (in Portuguese) (1 ed.). São Paulo: Moderna.

[:0-1] а ^б ^в Giovanni; Giovanni Jr.; Bonjorno (2011). Matemática fundamental: uma nova abordagem.

[:1-2] а ^б ^в ^г ^д Conexões com a matemática. 2010.

[:2-3] а ^б Paiva (2004). Matemática.

[:3-4] а ^б ^в ^г ^д Dolce; Pompeo (2005). Fundamentos da matemática elementar, 10: geometria espacial, posição e métrica.

[5] Dolce; Pompeo (2013). Fundamentos da matemática elementar 9: geometria plana.

[6] Balestri, Rodrigo (2016). Matemática: interação e tecnologia (порт.) (вид. 2). São Paulo: Leya.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]