Алгоритм
ред.
Правило встановлює метод для ділення многочленів
P
(
x
)
=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
{\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}
на біном
Q
(
x
)
=
x
−
r
{\displaystyle Q(x)=x-r\,\!}
для отримання многочлена частки
R
(
x
)
=
b
n
−
1
x
n
−
1
+
b
n
−
2
x
n
−
2
+
⋯
+
b
1
x
+
b
0
{\displaystyle R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}
Насправді алгоритм є діленням стовпчиком P (x ) на Q (x ).
Для того, щоб поділити P (x ) на Q (x ):
Взяти коефіцієнти P (x ) і записати їх по порядку. Потім записати r ліворуч, безпосередньо над лінією:
a
n
a
n
−
1
…
a
1
a
0
r
{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &&&&&\\&&&&&\\\end{array}}}
Спустити крайній лівий коефіцієнт (a n
a
n
a
n
−
1
…
a
1
a
0
r
a
n
=
b
n
−
1
{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\\\end{array}}}
Помножити крайнє праве число під лінією на r і записати наступним його над лінією:
a
n
a
n
−
1
…
a
1
a
0
r
b
n
−
1
r
a
n
=
b
n
−
1
{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}r&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\\\end{array}}}
Додати два значення щойно розташованих в одному стовпчику
a
n
a
n
−
1
…
a
1
a
0
r
b
n
−
1
r
a
n
a
n
−
1
+
(
b
n
−
1
r
)
=
b
n
−
1
=
b
n
−
2
{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}r&&&\\\hline &a_{n}&a_{n-1}+(b_{n-1}r)&&&\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&&&\\\end{array}}}
Повторювати кроки 3 і 4 допоки є числа
a
n
a
n
−
1
…
a
1
a
0
r
b
n
−
1
r
a
n
a
n
−
1
+
(
b
n
−
1
r
)
⋯
a
1
+
b
1
r
a
0
+
b
0
r
=
b
n
−
1
=
b
n
−
2
⋯
=
b
0
=
s
{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}r&&&\\\hline &a_{n}&a_{n-1}+(b_{n-1}r)&\cdots &a_{1}+b_{1}r&a_{0}+b_{0}r\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&\cdots &=b_{0}&=s\\\end{array}}}
Числа b і є коефіцієнтами результовного многочлену (R (x )), ступінь якого на одиницю менша ніж степінь P (x ). Останнє отримане значення, s , це остача . Як говорить теорема Безу , ця остача дорівнює P (r ), значенню многочлена в r .
Використання
ред.
Ділення на многочлена на
x
−
r
{\displaystyle x-r}
ред.
Робочий приклад ділення многочленів, як описано вище.
Нехай:
P
(
x
)
=
2
x
3
+
3
x
2
−
4
,
{\displaystyle P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4,}
Q
(
x
)
=
x
+
1.
{\displaystyle Q(x)=x+1.}
Ми хочемо знайти
P
(
x
)
/
Q
(
x
)
{\displaystyle P(x)/Q(x)}
Q
(
x
)
{\displaystyle Q(x)}
x
−
r
,
{\displaystyle x-r,}
x
+
r
.
{\displaystyle x+r.}
Q
(
x
)
=
x
+
1
=
x
−
(
−
1
)
.
{\displaystyle Q(x)=x+1=x-(-1).}
Тепер застосовуємо алгоритм:
1. Виписуємо коефіцієнти та
r
.
{\displaystyle r.}
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)}
x
1
,
{\displaystyle x^{1},}
2
3
0
−
4
−
1
{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c}&2&3&0&-4\\-1&&&&\\\hline &&&&\\&&&&\\\end{array}}}
2. Спускаємо перший коефіцієнт:
2
3
0
−
4
−
1
2
{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c}&2&3&0&-4\\-1&&&&\\\hline &2&&&\\\end{array}}}
3. Множимо останнє отримане значення на
r
:
{\displaystyle r:}
2
3
0
−
4
−
1
−
2
2
{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c}&2&3&0&-4\\-1&&-2&&\\\hline &2&&&\\\end{array}}}
4. Додаємо значення:
2
3
0
−
4
−
1
−
2
2
1
{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c}&2&3&0&-4\\-1&&-2&&\\\hline &2&1&&\\\end{array}}}
5. Повторюємо кроки 3 і 4 поки не завершимо:
2
3
0
−
4
−
1
−
2
−
1
1
2
1
−
1
−
3
{\displaystyle {\begin{array}{c|c c c c}&2&3&0&-4\\-1&&-2&-1&1\\\hline &2&1&-1&-3\\\end{array}}}
2
,
1
,
−
1
{\displaystyle 2,1,-1}
−
3
{\displaystyle -3}
Отже, якщо початкове число = дільник × частка + остача , тоді
P
(
x
)
=
Q
(
x
)
R
(
x
)
+
s
{\displaystyle P(x)=Q(x)R(x)+s\,\!}
R
(
x
)
=
2
x
2
+
x
−
1
,
s
=
−
3
;
⇒
2
x
3
+
3
x
2
−
4
=
(
2
x
2
+
x
−
1
)
(
x
+
1
)
−
3.
{\displaystyle R(x)=2x^{2}+x-1,\ s=-3;\quad \Rightarrow 2x^{3}+3x^{2}-4=(2x^{2}+x-1)(x+1)-3.}
Посилання
ред.
Примітки
ред.
