Поверхневий інтеграл

У математиці поверхне́вий інтегра́л — це визначений інтеграл, котрий береться по поверхні (яка може бути зігнутою множиною в просторі); його можна розглядати як подвійний інтегральний аналог лінійного інтегралу. З огляду на поверхні, можна інтегрувати скалярні поля (тобто функції, які повертають числа як значення) і векторні поля (тобто функції, які повертають вектори як значення).

Визначення поверхневого інтегралу спирається на розбиття поверхні на малі елементи

Поверхневі інтеграли мають застосування у фізиці, зокрема в класичній теорії електромагнетизму.

Поверхневі інтеграли

Шмат поверхні $S$, заданий у параметричні формі: $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$, $z=z(u,v)$, причому $(u,v)$ пробігають деяку область $\Gamma$ площини, називається гладким, якщо різні пари значень $(u,v)$ дають різні точки $S$, часткові похідні функцій $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$, $z=z(u,v)$ неперервні і завжди

$A^{2}+B^{2}+C^{2}>0,$ де

$A={\begin{vmatrix}{\partial y \over \partial u}&{\partial y \over \partial v}\\{\partial z \over \partial u}&{\partial z \over \partial v}\\\end{vmatrix}},$

$B={\begin{vmatrix}{\partial z \over \partial u}&{\partial z \over \partial v}\\{\partial x \over \partial u}&{\partial x \over \partial v}\\\end{vmatrix}},$

$C={\begin{vmatrix}{\partial x \over \partial u}&{\partial x \over \partial v}\\{\partial y \over \partial u}&{\partial y \over \partial v}\\\end{vmatrix}}.$

Якщо поверхня $S$ складається з скінченного числа гладких кусків поверхні, то $S$ називається кусково гладкою.

Гладка поверхня $S$ називається двосторонньою, якщо при обході кожної замкнутої кривої на $S$, виходячи з будь-якої точки $M_{0}$ на $S$, повертаємося в початкове положення з напрямом нормалі, вибраним в $M_{0}$. Обидві сторони двосторонньої поверхні можуть бути, таким чином, охарактеризовані напрямом відповідних нормалей. Односторонньою поверхнею є, наприклад, лист Мебіуса. Усюди надалі під поверхнею розуміється двостороння поверхня.

Площа гладкої поверхні

Хай поверхня $S$ задана параметрично: $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$, $z=z(u,v)$, причому $u$ і $v$ пробігають деяку область $\Gamma$ площини $u$, $v$. Тоді площа $S$ поверхні визначається поверхневим інтегралом

$\iint \limits _{\Gamma }{\sqrt {EG-F^{2}}}\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v$, де

$E={\left({\frac {\partial x}{\partial u}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial y}{\partial u}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial z}{\partial u}}\right)}^{2}$,

$F={\partial x \over \partial u}{\partial x \over \partial v}+{\partial y \over \partial u}{\partial y \over \partial v}+{\partial z \over \partial u}{\partial z \over \partial v}$,

$G={\left({\frac {\partial x}{\partial v}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial y}{\partial v}}\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial z}{\partial v}}\right)}^{2}$.

Підінтегральний вираз

$\mathrm {d} S={\sqrt {EG-F^{2}}}\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v$

називається елементом поверхні.

Якщо $S$ задана явно рівнянням $z=\phi (x,y)$, причому $(x,y)$ пробігають область $S'$ (проєкцію області $S$ на площину $x0y$), то:

$S=\iint \limits _{S^{\prime }}{\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$, де

$p={\partial z \over \partial x}$, $q={\partial z \over \partial y}$.

Поверхневі інтеграли 1-го та 2-го роду

Поверхневі інтеграли 1-го роду

Рис. 1

Визначення поверхневого інтегралу 1-го роду.

Нехай деяка функція $f(x,y,z)$ визначена і обмежена на гладкій поверхні $S$. Хай $Z$ позначає деяке розбиття $S$ на скінченну кількість елементарних поверхонь $S_{i}$ (i = 1, 2 …. і) з площами $\Delta S_{i}$, $\Delta (Z)$ є найбільшим діаметром елементарних поверхонь $S_{i}$ і $M_{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})$ — довільна точка на відповідній елементарній поверхні (Рис. 1). Число

$S(Z)=\sum _{i=1}^{N}{f(x_{i},y_{i},z_{i})\Delta S_{i}}$

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю $Z$. Якщо існує число $I$ з такою властивістю: для кожного $\epsilon >0$ знайдеться таке$\Delta (\epsilon )>0$, що для кожного розбиття $Z$ з $\Delta (Z)<\Delta$, незалежно від вибору точок $M_{i}$ $|S(Z)-I|<\Delta$, то $I$ називається поверхневим інтегралом 1-го роду від $f(x,y,z)$ по поверхні $S$ і записується

$I=\iint \limits _{S}f(x,y,z)\ \mathrm {d} s$.

Для окремого випадку підінтегрального виразу $f(x,y,z)\equiv 1$

число $I$ дає площу $S$ поверхні $S$.

Обчислення (зведення до подвійного інтеграла): якщо поверхня задана параметрично:

$x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$, $z=z(u,v)$,

причому $u$ та $v$ пробігають область $\Gamma$ площини $u$, $v$

$I=\iint \limits _{S}f(x,y,z)\ \mathrm {d} s=\iint \limits _{\Gamma }f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)){\sqrt {EG-F^{2}}}\,\mathrm {d} u\mathrm {d} v$.

Якщо поверхня задана явно рівнянням $z=\phi (x,y)$ причому $(x,y)$ пробігають область $S'$, то

$I=\iint \limits _{S}f(x,y,z)\ \mathrm {d} s=\iint \limits _{S'}f(x,y,\phi (x,y)){\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}\ \mathrm {d} x\mathrm {d} y$.

Аналогічні формули вірні, якщо $S$ представлена рівняннями виду $x=\psi (y,z)$ чи $y=\chi (x,z)$.

Поверхневі інтеграли 2-го роду

Рис. 2

Орієнтація двосторонньої незамкнутої поверхні: вибирається певна сторона поверхні $S$; на кожній замкнутій кривій на $S$ визначається додатний напрям обходу так, що він разом з нормаллю вибраної сторони утворював праву трійку векторів.

Нехай в точках поверхні $S$, розташованої однозначно над площиною $x,y$ і заданою явно рівнянням $z=\phi (x,y)$, визначена обмежена функцією $f(x,y,z)$. Нехай $Z$ є розбиття поверхні $S$ на скінченну кількість елементарних поверхонь $S_{i}$, $(i=1,2,....n)$, $\Delta {Z}$ — найбільший діаметр елементарних поверхонь, $M_{i}=(x_{i},y_{i},z_{i})$ — довільна точка, вибрана на елементарній поверхні $S_{i}$. Якщо вибрана певна сторона поверхні і тим самим орієнтація по ній, то напрям обходу межі кожної елементарної поверхні $S_{i}$ визначає напрям обходу в площині $x,y$, біля кордону проєкції $S'_{i}$. Площа $\Delta S'_{i}$ цієї проєкції береться із знаком «+», якщо межа проєкції $S'_{i}$ проходиться в додатному напрямі; інакше — із знаком «—» (Рис. 2).

Число

$S(Z)=\sum _{i=1}^{N}f(x_{i},y_{i},z_{i})\Delta S'_{i}$

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю $Z$. На противагу утворенню інтегральних сум поверхневих інтегралів 1-го роду, тут $f(M_{i})$ множиться не на площу $\Delta S'_{i}$ (елементарній поверхні $S_{i}$ а на взяту із знаком площа $\Delta S'_{i}$ проєкції $S'_{i}$ поверхні $S_{i}$ на площину $x,y$.

Якщо існує число $I$ з такою властивістю: для кожного $\epsilon >0$ знайдеться таке $\Delta (\epsilon )>0$, що для кожного розбиття $Z$ з $\Delta (Z)<\Delta$, незалежно від вибору точок $M_{i}$, завжди |$|S(Z)-I|<\epsilon$, то $I$ називають поверхневим інтегралом 2-го роду від

$f(x,y,z)$ за вибраною стороною $S$ і пишуть

$\iint \limits _{S}f(x,y,z)\ \mathrm {d} x\;\mathrm {d} y$.

Якщо $S$ не має взаємно однозначної проєкції на площину $x,y$, але її можна розбити на скінченну кількість поверхонь, для кожної з яких існує така проєкція, то поверхневий інтеграл по $S$ визначається як сума інтегралів по окремих поверхнях.

Якщо $S$ має однозначну проєкцію на площину $y,z$ або $x,z$, то можна визначити аналогічно два інших поверхневих інтеграла 2-го роду:

$\iint \limits _{S}f(x,y,z)\ \mathrm {d} y\mathrm {d} z$ та

$\iint \limits _{S}f(x,y,z)\ \mathrm {d} z\mathrm {d} x$,

де у відповідних інтегральних сумах стоять площі проєкцій $S_{i}$ на площину $y,z$ або $x,z$.

Нарешті, для трьох функцій $P(x,y,z)$, $Q(x,y,z)$, $R(x,y,z)$, визначених на $S$, ці інтеграли можна додати і визначити загальніший поверхневий інтеграл другого роду:

$\iint \limits _{S}P\;\mathrm {d} y\;\mathrm {d} z+Q\;\mathrm {d} z\;\mathrm {d} x+R\;\mathrm {d} x\;\mathrm {d} y=\iint \limits _{S}P\;\mathrm {d} y\;\mathrm {d} z+\iint \limits _{S}Q\;\mathrm {d} z\;\mathrm {d} x+\iint \limits _{S}R\;\mathrm {d} x\;\mathrm {d} y$.

Обчислення поверхневого інтеграла 2-го роду (зведення до подвійного інтеграла)

1. Нехай поверхня $S$ має явне представлення $z=\phi (x,y)$, причому $(x,y)$ змінюються в області $S'$. Тоді поверхневий інтеграл по тій стороні $S$, для якої кут між нормаллю і віссю $z$ є гострим, обчислюється так:

$\iint \limits _{S}f(x,y,z)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=-\iint \limits _{S'}f(x,y,\phi (x,y)).$

Якщо вибрана інша сторона поверхні, то

$\iint \limits _{S}f(x,y,z)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\iint \limits _{S}f(x,y,\phi (x,y)).$

Аналогічні формули виходять для інших інтегралів:

$\iint \limits _{S}f(x,y,z)\mathrm {d} y\mathrm {d} z=-\iint \limits _{S'}f(\psi (y,z),y,z),$

де $S$ задана рівнянням $x=\psi (y,z)$, $S'$ — проєкція $S$ на площину $y,z$, а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої утворює з віссю $x$ гострий кут. Так само

$\iint \limits _{S}f(x,y,z)\mathrm {d} z\mathrm {d} x=-\iint \limits _{S'}f(x,\chi (z,x),y)\mathrm {d} z\mathrm {d} x,$

де $S$ задана рівнянням $y=\chi (z,x)$, $S'$ проєкція $S$ на площину $x,z$, а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої складає з віссю у гострий кут.

2. Якщо поверхня $S$ задана в параметричній формі: $x=x(u,v)$, $y=y(u,v)$, $z=z(u,v)$, то

$\iint \limits _{S}f(x,y,z)\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\pm \iint \limits _{\Gamma }f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))C\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v$

$\iint \limits _{S}f(x,y,z)\mathrm {d} y\mathrm {d} z=\pm \iint \limits _{\Gamma }f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))A\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v$

$\iint \limits _{S}f(x,y,z)\mathrm {d} z\mathrm {d} x=\pm \iint \limits _{\Gamma }f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))B\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v$

де

$A={\partial (y,z) \over \partial (u,v)}$

$B={\partial (z,x) \over \partial (u,v)}$

$C={\partial (x,y) \over \partial (u,v)}$

дивись рівняння угорі, додатний знак перед інтегралом справа використовується тоді, коли орієнтація області $\Gamma$ площини $u,v$ відповідає орієнтації вибраної сторони. Для суми трьох інтегралів отримуємо

$\iint \limits _{S}P\;\mathrm {d} y\;\mathrm {d} z+Q\;\mathrm {d} z\;\mathrm {d} x+R\;\mathrm {d} x\;\mathrm {d} y=\pm \iint \limits _{\Gamma }(PA+QB+RC)\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v$

Зв'язок між поверхневими інтегралами 1-го і 2-го роду

Якщо $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ — кути нормалі до вибраної сторони поверхні з осями $x,y$ і $z$, то

$\iint \limits _{S}{P\;\mathrm {d} y\;\mathrm {d} z+Q\;\mathrm {d} z\;\mathrm {d} x+R}\;\mathrm {d} x\;\mathrm {d} y=\pm {\iint \limits _{S}{(P\;\cos \alpha +Q\;\cos \beta \;+R\cos \gamma )}\;\mathrm {d} S}$

тобто поверхневий інтеграл 2-го роду, що стоїть зліва, перетвориться в поверхневий інтеграл 1-го роду, що стоїть справа.

Рис. 3

Поверхневий інтеграл

$\iint \limits _{S}P\;\mathrm {d} y\;\mathrm {d} z+Q\;\mathrm {d} z\;\mathrm {d} x+R\;\mathrm {d} x\;\mathrm {d} y$

має для різних незамкнутих поверхонь $S_{1}$ і $S_{2}$ з однією і тією ж границею $C$ у загальному випадку різні значення (Рис. 3), тобто він в загальному випадку не обертається в нуль на замкнутій поверхні (аналогічно залежності від шляху криволінійного інтеграла). Якщо функції

$P,Q,R,{\partial P \over \partial x},{\partial Q \over \partial y},{\partial R \over \partial z}$

неперервні в однозв'язній просторовій області $V$ (тобто в області, яка разом з кожною замкнутою поверхнею містить також і область, обмежену цією поверхнею), то поверхневий інтеграл по всякій замкнутій поверхні $S$ в $V$ обертається в нуль тоді і тільки тоді, коли

${\partial P \over \partial x}+{\partial Q \over \partial y}+{\partial R \over \partial z}=0$

Геометричні і фізичні застосування поверхневого інтеграла

Об'єм тіла

Об'єм $\!V$ тіла ($\!V$), обмеженого кусково гладкими поверхнями $\!S$, можна різними способами обчислити як поверхневий інтеграл другого роду:

$\!V=\iint _{S}z\;dx\;dy$

чи

$\!V=\iint _{S}x\;dy\;dz$

чи

$\!V=\iint _{S}y\;dz\;dx$

або

$\!V={1 \over 3}\iint _{S}x\;dy\;dz+y\;dz\;dx+z\;dx\;dy$

при цьому інтеграли слід брати по зовнішній стороні поверхні $\!S$.

Центр тяжіння та сила притягання

Якщо поверхня $\!S$ покрита масою з поверхневою густиною $\!\delta (x,y,z)$, то повна маса поверхні $\!S$ дорівнює

$\!M=\iint _{S}\delta (x,y,z)\;dS$

координати $\!(\xi ,\eta ,\zeta )$ центру тяжіння дорівнюють

$\!\xi ={1 \over M}\iint _{S}x\delta (x,y,z)\;dS$

$\!\eta ={1 \over M}\iint _{S}y\delta (x,y,z)\;dS$

$\!\zeta ={1 \over M}\iint _{S}z\delta (x,y,z)\;dS$

компоненти сили притягання $\!F$ цього розподілу маси, що діє на матеріальну точку $\!M=(x_{0},y_{0},z_{0})$ одиничної маси, дорівнюють

$\!F_{x}=\gamma \iint _{S}{{x-x_{0}} \over r^{3}}\;dS$

$\!F_{y}=\gamma \iint _{S}{{y-y_{0}} \over r^{3}}\;dS$

$\!F_{z}=\gamma \iint _{S}{{z-z_{0}} \over r^{3}}\;dS$

$\!\gamma =const$

Див. також

• Інтегральне числення.

Джерела

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.