Відкрити головне меню

Зміст

Визначення лінійного інтегралаРедагувати

Нехай у просторовій області   визначено безперервне векторне поле   — гладка крива, розташована в  . Лінійним інтегралом поля   уздовж лінії   називається криволінійний інтеграл по довжині дуги від скалярного твори   на одиничний дотичний вектор  .

Як і потік, цей інтеграл може представлятися по-різному. Так, якщо врахувати, що похідна   на   дає зміна радіуса-вектора точки  , тобто  ,то   і   Отже, лінійний інтеграл може бути виражений і через лінійний інтеграл по координатах.

Фізичний сенс лінійного інтегралаРедагувати

якщо   — силове поле, то   дорівнює роботі цього поля при переміщенні матеріальної точки вздовж лінії   см. розділ Потрійні інтеграли.

Основні властивості лінійного інтегралаРедагувати

1)лінійність  

2)адитивність

 . 

Направлення на кожній з частин   і   має бути таким же, як і на всій кривій  ,

3). При зміні напрямку вздовж   лінійний інтеграл змінює знак.

Це випливає з того, що вектор   змінюється на  .

4). Якщо   — векторна лінія поля і рух відбувається в напрямку поля, то  . У цьому випадку вектор   колінеарний   , тому  .

Обчислення лінійного інтегралаРедагувати

Як і будь-який криволінійний інтеграл, лінійний інтеграл обчислюється зведенням до певного інтеграла по параметру на кривій, зазвичай обчислюють криволінійний інтеграл  . Якщо крива при параметричному завданні має вигляд

  - безперервно диференціюються, то 

   

Напрямок інтегрування визначається напрямом руху по кривій.

Циркуляція векторного поляРедагувати

Циркуляцією називається лінійний інтеграл векторного поля по замкнутій кривій  .

Зазвичай кажуть, що циркуляція характеризує обертальну здатність поля. Мається на увазі наступне. Якщо векторні лінії поля замкнені, то, як ми бачили, циркуляція по ним в напрямку поля позитивна, при цьому в гідродинамічної інтерпретації частки рідини крутяться по цим замкнутим лініях. Нехай тепер лінії струму довільні, уявімо в обсязі   замкнутий контур  . Якщо в результаті руху рідини цей контур буде обертатися, то поле володіє обертальної здатністю, абсолютна величина циркуляції визначатиме кутову швидкість обертання {чим більше |  |, тим вище швидкість}, знак циркуляції покаже, чи збігається напрямок обертання з напрямком інтегрування.