Відкрити головне меню
Визначення поверхневого інтегралу спирається на розбиття поверхні на малі елементи

У математиці поверхне́вий інтегра́л — це визначений інтеграл, котрий береться по поверхні (яка може бути зігнутою множиною в просторі); його можна розглядати як подвійний інтегральний аналог лінійного інтегралу. З огляду на поверхні, можна інтегрувати скалярні поля (тобто функції, які повертають числа як значення) і векторні поля (тобто функції, які повертають вектори як значення).

Поверхневі інтеграли мають застосування у фізиці, зокрема в класичній теорії електромагнетизму.

Зміст

Поверхневі інтегралиРедагувати

Шмат поверхні  , заданий у параметричні формі:  ,  ,  , причому   пробігають деяку область   площини, називається гладким, якщо різні пари значень   дають різні точки  , часткові похідні функцій  ,  ,   неперервні і завжди

  де
 
 
 

Якщо поверхня   складається з скінченного числа гладких кусків поверхні, то   називається кусково гладкою.

Гладка поверхня   називається двосторонньою, якщо при обході кожної замкнутої кривої на  , виходячи з будь-якої точки   на  , повертаємося в початкове положення з напрямом нормалі, вибраним в  . Обидві сторони двосторонньої поверхні можуть бути, таким чином, охарактеризовані напрямом відповідних нормалей. Односторонньою поверхнею є, наприклад, лист Мебіуса. Усюди надалі під поверхнею розуміється двостороння поверхня.

Площа гладкої поверхніРедагувати

Докладніше: Площа поверхні

Хай поверхня   задана параметрично:  ,  ,  , причому   і   пробігають деяку область   площини  ,  . Тоді площа   поверхні визначається поверхневим інтегралом

 , де
 ,
 ,
 .

Підінтегральний вираз

 

називається елементом поверхні.

Якщо   задана явно рівнянням  , причому   пробігають область   (проекцію області   на площину  ), то:

 , де
 ,  .

Поверхневі інтеграли 1-го та 2-го родуРедагувати

Поверхневі інтеграли 1-го родуРедагувати

 
Рис. 1

Визначення поверхневого інтегралу 1-го роду.

Нехай деяка функція   визначена і обмежена на гладкій поверхні  . Хай   позначає деяке розбиття   на скінченну кількість елементарних поверхонь   (i = 1, 2 …. і) з площами  ,   є найбільшим діаметром елементарних поверхонь   і   — довільна точка на відповідній елементарній поверхні (Рис. 1). Число

 

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю  . Якщо існує число   з такою властивістю: для кожного   знайдеться таке , що для кожного розбиття   з  , незалежно від вибору точок    , то   називається поверхневим інтегралом 1-го роду від   по поверхні   і записується

 .

Для окремого випадку підінтегрального виразу  

число   дає площу   поверхні  .

Обчислення (зведення до подвійного інтеграла): якщо поверхня задана параметрично:

 ,  ,  ,

причому   та   пробігають область   площини  ,  

 .

Якщо поверхня задана явно рівнянням   причому   пробігають область  , то

 .

Аналогічні формули вірні, якщо   представлена рівняннями виду   чи  .

Поверхневі інтеграли 2-го родуРедагувати

 
Рис. 2

Орієнтація двосторонньої незамкнутої поверхні: вибирається певна сторона поверхні  ; на кожній замкнутій кривій на   визначається додатний напрям обходу так, що він разом з нормаллю вибраної сторони утворював праву трійку векторів.

Нехай в точках поверхні  , розташованої однозначно над площиною   і заданою явно рівнянням  , визначена обмежена функцією  . Нехай   є розбиття поверхні   на скінченну кількість елементарних поверхонь  ,  ,   — найбільший діаметр елементарних поверхонь,   — довільна точка, вибрана на елементарній поверхні  . Якщо вибрана певна сторона поверхні і тим самим орієнтація по ній, то напрям обходу межі кожної елементарної поверхні   визначає напрям обходу в площині  , біля кордону проекції  . Площа   цієї проекції береться із знаком «+», якщо межа проекції   проходиться в додатному напрямі; інакше — із знаком «—» (Рис. 2).

Число

 

називається інтегральною сумою, що відповідає розбиттю  . На противагу утворенню інтегральних сум поверхневих інтегралів 1-го роду, тут   множиться не на площу   (елементарній поверхні   а на взяту із знаком площа   проекції   поверхні   на площину  .

Якщо існує число   з такою властивістю: для кожного   знайдеться таке  , що для кожного розбиття   з  , незалежно від вибору точок  , завжди | , то   називають поверхневим інтегралом 2-го роду від

  за вибраною стороною   і пишуть
 .

Якщо   не має взаємно однозначної проекції на площину  , але її можна розбити на скінченну кількість поверхонь, для кожної з яких існує така проекція, то поверхневий інтеграл по   визначається як сума інтегралів по окремих поверхнях.

Якщо   має однозначну проекцію на площину   або  , то можна визначити аналогічно два інших поверхневих інтеграла 2-го роду:

  та
 ,

де у відповідних інтегральних сумах стоять площі проекцій   на площину   або  .

Нарешті, для трьох функцій  ,  ,  , визначених на  , ці інтеграли можна додати і визначити загальніший поверхневий інтеграл другого роду:


 .

Обчислення поверхневого інтеграла 2-го роду (зведення до подвійного інтеграла)Редагувати

1. Нехай поверхня   має явне представлення  , причому   змінюються в області  . Тоді поверхневий інтеграл по тій стороні  , для якої кут між нормаллю і віссю   є гострим, обчислюється так:

 

Якщо вибрана інша сторона поверхні, то

 

Аналогічні формули виходять для інших інтегралів:

 

де   задана рівнянням  ,   — проекція   на площину  , а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої утворює з віссю   гострий кут. Так само

 

де   задана рівнянням  ,   проекція   на площину  , а поверхневий інтеграл береться по тій стороні, нормаль до якої складає з віссю у гострий кут.

2. Якщо поверхня   задана в параметричній формі:  ,  ,  , то

 
 
 

де

 
 
 

дивись рівняння угорі, додатний знак перед інтегралом справа використовується тоді, коли орієнтація області   площини   відповідає орієнтації вибраної сторони. Для суми трьох інтегралів отримуємо

 

Зв'язок між поверхневими інтегралами 1-го і 2-го родуРедагувати

Якщо  ,  ,   — кути нормалі до вибраної сторони поверхні з осями   і  , то

 

тобто поверхневий інтеграл 2-го роду, що стоїть зліва, перетвориться в поверхневий інтеграл 1-го роду, що стоїть справа.

 
Рис. 3

Поверхневий інтеграл

 

має для різних незамкнутих поверхонь   і   з однією і тією ж границею   у загальному випадку різні значення (Рис. 3), тобто він в загальному випадку не обертається в нуль на замкнутій поверхні (аналогічно залежності від шляху криволінійного інтеграла). Якщо функції

 

неперервні в однозв'язній просторовій області   (тобто в області, яка разом з кожною замкнутою поверхнею містить також і область, обмежену цією поверхнею), то поверхневий інтеграл по всякій замкнутій поверхні   в   обертається в нуль тоді і тільки тоді, коли

 

Геометричні і фізичні застосування поверхневого інтегралаРедагувати

Об'єм тілаРедагувати

Об'єм   тіла ( ), обмеженого кусково гладкими поверхнями  , можна різними способами обчислити як поверхневий інтеграл другого роду:

 

чи

 

чи

 


або

 

при цьому інтеграли слід брати по зовнішній стороні поверхні  .

Центр тяжіння та сила притяганняРедагувати

Якщо поверхня   покрита масою з поверхневою густиною  , то повна маса поверхні   дорівнює

 

координати   центру тяжіння дорівнюють

 
 
 

компоненти сили притягання   цього розподілу маси, що діє на матеріальну точку   одиничної маси, дорівнюють

 
 
 
 

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати

  • Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.