Однорідна функція

Однорі́дна фу́нкція (англ. homogeneous function) ступеня $q$ — числова функція $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ така, що для будь-якого $\mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}$ та $\lambda \in \mathbb {R}$ виконується рівність:

$f(\lambda \mathbf {v} )=\lambda ^{q}f(\mathbf {v} )\qquad \qquad (*)$

причому $q$ називають порядком однорідності.

Розрізняють також

• додатно однорідні функції, для яких рівняння $(*)$ виконується тільки для додатних $\lambda$ ($\lambda >0$)
• абсолютно однорідні функції для яких виконується рівняння
      $f(\lambda \mathbf {v} )=|\lambda |^{q}f(\mathbf {v} )$

Властивості

1. Якщо функція $f$ є многочленом від $n$ змінних, тоді вона буде однорідною функцією степеню $q$ тоді і тільки тоді, коли $f$ — однорідний многочлен степеню $q$, зокрема в цьому випадку $q$ має бути цілим.
2. Однорідна функція в нулі дорівнює нулю, якщо вона там визначена:
       $f(\mathbf {0} )=0\qquad \qquad$
3. Лема Ейлера. Однорідні функції пропорційні скалярному добутку свого градієнта на вектор своїх змінних з коефіцієнтом, що дорівнює порядку однорідності:
       $\mathbf {v} \cdot \nabla f(\mathbf {v} )=qf(\mathbf {v} ).$
   Доводиться диференціюванням рівняння (*) по $\lambda$ при $\lambda =1$.

Теорема Ейлера

Теорема Ейлера про однорідні функції стверджує, що однорідна функція порядку k є розв'язком такого рівняння з частинними похідними:

$k\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n}).$

І навпаки, розв'язком такого рівняння є деяка однорідна функція.

Доведення

Позначимо $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})$ та $g(s)=f(s\mathbf {x} )$.

Щоб довести формулу застосуємо ланцюгове правило диференціювання до $f(s\mathbf {x} )=s^{k}f(\mathbf {x} )$ по відношенню до $s,$ а потім спрямуємо s до 1.

Щоб довести зворотнє, проінтегруємо диференціальне рівняння:

$sg'(s)=kf(s\mathbf {x} )=kg(s).$

Це лінійне диференціальне рівняння має розв'язок $g(s)=g(1)s^{k}.$ Тому

<math> f(s \mathbf{x}) = g(s) = s^k g(1) = s^k f(\mathbf{x}).

Див. також

• Однорідне рівняння
• Ізотопність
• Неперервна функція

Посилання

• Однорідна функція на PlanetMath.(англ.)