Одновимірне стаціонарне рівняння Шредінгера

Одновимірне стаціонарне рівняння Шредінгера — лінійне звичайне диференціальне рівняння другого порядку виду

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+U(x)\psi (x)=E\psi (x),\qquad (1)$

де $\hbar$ — стала Планка, $m$ — маса частинки, $U(x)$ — потенціальна енергія, $E$ — повна енергія, $\psi (x)$ — хвильова функція. Для повної постановки задачі про знаходження рішення $(1)$ треба задати також граничні умови, які представляються в загальному вигляді для інтервалу $[a,b]$

$\alpha _{1}\psi (a)+\beta _{1}{\frac {d\psi (a)}{dx}}=\gamma _{1},\qquad (2)$ $\alpha _{2}\psi (b)+\beta _{2}{\frac {d\psi (b)}{dx}}=\gamma _{2},\qquad (3)$

де $\alpha _{1},\alpha _{2},\beta _{1},\beta _{2},\gamma _{1},\gamma _{2}$ — константи. Квантова механіка розглядає рішення рівняння $(1)$, з граничними умовами $(2)$ та $(3)$.

Загальні властивості

Виходячи з фізичного змісту хвильова функція має бути однозначною та неперервною функцією своїх координат. Умова нормування з'являється з інтерпретації квадрата хвильової функції як імовірності.

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }|\psi (x)|^{2}dx=1.\qquad (0a)$

Звідси випливає, зокрема, що хвильова функція має досить швидко спадати з віддаленням від початку відліку. В одновимірному випадку, якщо хвильова функція $\psi (x)\sim 1/x^{\alpha }$ при $x\longrightarrow +\infty$, то показник ступеня відповідно до вираження

$\int ^{+\infty }|\psi (x)|^{2}dx=\int ^{+\infty }1/x^{2\alpha }dx=1/x^{2\alpha -1}\mid ^{+\infty }\longrightarrow 0,\qquad (0b)$

задовольняти нерівності $\alpha >1/2.$

Інтегрування рівняння $(1)$ в малій околиці точки a дає додаткові умови на похідну хвильової функції

$\int _{a-\varepsilon }^{a+\varepsilon }{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}dx={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\int _{a-\varepsilon }^{a+\varepsilon }(U(x)-E)\psi (x)dx,\qquad (0c)$

з якого в межі $\varepsilon \longrightarrow 0$ виходить

$\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\right|_{a+0}-\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\right|_{a-0}=0,\qquad (0d)$

якщо потенційна енергія має в точці a розриви першого роду (кінцеві стрибки). Якщо ж в точці a є Розрив другого роду, наприклад, потенційна енергія описується дельта-функцією ($U(x)=-G\delta (x-a)$), то умова $(0c)$ набирає вигляду

$\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\right|_{a+0}-\left.{\frac {d\psi (x)}{dx}}\right|_{a-0}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(-G)\psi (a).\qquad (0e)$

Якщо енергетичний спектр невироджений, то існує тільки одна хвильова функція, що є рішенням рівняння Шредінгера для даної енергії, причому вона визначена з точністю до фази. У разі, коли потенціал симетричний, то хвильові функції будуть або парними, або непарними і парність хвильових функцій чергується.

Точні аналітичні рішення

У загальному вигляді рішення рівняння $(1)$, з граничними умовами $(2)$ і $(3)$ не існує, але при деякому виборі потенційної енергії можна знайти точні рішення. Вони грають важливу роль в побудові аналітичних наближених рішень рівняння $(1)$.

Рішення для вільної частинки — плоскі хвилі

У вільному просторі, де відсутні потенціали рівняння $(1)$ приймає особливо простий вигляд

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}=E\psi (x).\qquad (4)$

Для цього рівняння рішенням є суперпозиція плоских хвиль

$\psi (x)=C_{1}e^{i{\sqrt {2mE}}x/\hbar }+C_{2}e^{-i{\sqrt {2mE}}x/\hbar }.\qquad (5)$

Тут енергія $E$ може приймати всі значення вище нуля, тому говорять, що власне значення належить безперервному спектру. Константи $C_{1}$ та $C_{2}$ визначаються з умови перенормування.

Рішення для частинки в одновимірній потенційній ямі з нескінченно високими стінками

Якщо помістити частку в потенційну яму, то безперервний спектр енергій стає дискретним. Для рівняння $(1)$ з потенційною енергією $U(x)$, яка дорівнює нулю в інтервалі $(0,a)$ і стає нескінченною в точках $0$ та $a$. На цьому інтервалі Рівняння Шредінгера збігається з $(4)$. Граничні умови $(2)$, $(3)$ для хвильової функції запишуться у вигляді

$\psi (0)=0,\qquad (6)$ $\psi (a)=0.\qquad (7)$

Шукаємо рішення у вигляді $A\sin {({\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}x+\delta )}$. З урахуванням граничних умов одержуємо для власних значень енергії $E_{n}$

$E_{n}={\frac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}n^{2}\qquad (8)$

і власних функцій з урахуванням нормування

$\psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {2}{a}}}\sin {{\frac {\pi n}{a}}x}.\qquad (9)$

Чисельні рішення

Більш-менш складний потенціал у рівнянні $(1)$ вже не дозволяє знайти аналітичний розв'язок у загальному випадку (хоча для окремих випадків такий розв'язок знайдено, наприклад, для задачі двох тіл), тому для розв'язку рівняння Шредінгера застосовують чисельні методи.

Одним з найпростіших є метод скінченних різниць, в якому рівняння $(1)$ замінюється рівнянням в кінцевих різницях на обраній сітці з вузлами в точках $x_{n}$, а саме, замінюючи другу похідну за формулою

${\frac {d^{2}y(x)}{dx^{2}}}={\frac {y_{n-1}-2y_{n}+y_{n+1}}{h^{2}}},\qquad (10)$

де $h$ — Крок дискретизації, $n$ — номер вузла сітки, отримаємо

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {y_{n-1}-2y_{n}+y_{n+1}}{h^{2}}}+U_{n}y_{n}=Ey_{n},\qquad (11)$

де $U_{n}$ — значення потенційної енергії $U(x)$ на вузлах сітки. Нехай $a$ деякий характерний масштаб потенціалу, тоді рівняння $(11)$ можна записати в безрозмірному вигляді

$-y_{n-1}+(2+h^{2}{\frac {2ma^{2}U_{n}}{\hbar ^{2}}})y_{n}-y_{n+1}=h^{2}{\frac {2ma^{2}E}{\hbar ^{2}}}y_{n}.\qquad (12)$

Якщо позначити безрозмірні величини потенційної енергії $v_{n}={\frac {2ma^{2}U_{n}}{\hbar ^{2}}}$ і власні значення $e=h^{2}{\frac {2ma^{2}E}{\hbar ^{2}}}$, то рівняння $(12)$ спроститься

$-y_{n-1}+(2+h^{2}v_{n}-e)y_{n}-y_{n+1}=0.\qquad (13)$

Під останнім виразом треба розуміти систему рівнянь для всіх можливих індексів $n$.

Література

• Боум А. Квантовая механика: основы и приложения. М. Мир, 1990. — 720с. ISBN 5-03-001311-3
• Березин Ф. А., Шубин М. А. Уравнение Шредингера. Изд-во МГУ, 1983.
• Калиткин. Н. Н. Численные методы. М., Наука, 1978.

Див. також

• Яма з нескінченними стінками