Відкрити головне меню

Квантовий рух у прямокутній потенційній ямі

Деякі траєкторії руху частки в одномірному ящику згідно з механікою Ньютона (A), та згідно з рівнянням Шредінгера та квантовою механікою (B-F). У випадку (B-F), горизонтальна вісь відображає позицію частки, а вертикальні осі - реальну частину (голубі) та уявну частину (червоні) хвильової функції. Стани (B,C,D) відображають енергетичні стани, проте (E,F) - ні.

Квантовий рух у прямокутній потенційній ямі - задача квантової механіки що вивчає рух частинки в потенціальній ямі прямокутної форми та з нескінченно високими стінками.

Задача знаходження стаціонарних станів руху частки маси в зовнішньому потенціальному полі зводиться до знаходження власних значень оператора енергії, тобто до розв'язку рівняння Шредінгера:


.


Це рівняння є лінійним диференційним рівнянням другого порядку. Точні аналітичні розв'язки можуть бути знайдені тільки для деяких видів оператора потенційної енергії. Очевидно, що задача знаходження хвильових функцій рівняння Шредінгера у випадку прямокутної потенційної ями належить до найпростіших, і тому для неї можна знайти точні аналітичні розв'язки. В цьому випадку хвильова функція має розриви в точках стрибкоподібної зміни потенціальної енергії. Тому в цих точках необхідно проводити зшивання хвильових функцій, щоб забезпечити їх неперервність. Якщо енергія частки обмежена і стрибок потенційної енергії на поверхні розриву скінченний, то із рівняння Шредінгера випливає необхідність неперервності і на поверхні розриву. Таким чином, граничні умови на поверхні зі скінченним стрибком потенціалу зводяться до вимоги:

та неперервні на

Зміст

Одновимірна прямокутна ямаРедагувати

Розглянемо частинку, яка рухається в потенціальному полі прямокутної форми:

 

В цьому випадку рівняння Шредінгера зводиться до одновимірного рівняння:

 .

В цьому випадку, внаслідок симетричного вибору системи координат, потенційна енергія та оператор Гамільтона інваріантні відносно перетворення інверсії  , і тому всі стаціонарні стани відносяться або до станів позитивної парності, або до станів з негативною парністю. Такий вибір системи координат у значній мірі спрощує розв'язок задачі, оскільки досить знайти розв'язок тільки для області позитивних значень  , тобто в області  . Хвильові функції станів негативної парності повинні приймати нульове значення в точці  ; для станів позитивної парності при   повинна приймати нульове значення похідна хвильової функції по координаті.

Будемо відраховувати енергію відносно "дна" потенціальної ями, тоді енергія  . Розглянемо значення енергії  . Нехай далі:

 

Тоді одновимірне рівняння Шредінгера можна переписати у вигляді:

 

 

Скінченні розв'язки   при   можна записати у вигляді

 .

А розв'язки  , які відповідають станам позитивної парності, будуть:

 .

Для станів негативної парності маємо:

 

Розглянемо спершу стани позитивної парності. Із умови неперервності   та   в точці   випливає два однорідних рівняння для визначення   та  :

 

 

Ця система рівнянь має відмінні від нуля розв'язки тільки при умові:

 .

Оскільки тангенс є періодична функція із періодом  , то це рівняння можна перетворити до вигляду:

 

де   значення арксинуса необхідно брати в інтервалі  . Останнє рівняння є трансцендентним по формі і визначальним для позитивних значень хвильового числа  . Тому можливі рівні енергії, які відповідають станам з позитивною парністю. Оскільки аргумент арксинуса не може перевищувати 1, то значення   можуть лежати тільки в інтервалі  . Значення  , що задовольняють це рівняння при   відповідають точкам перетину прямої   та монотонно спадаючих кривих

 .

Особливо простий вигляд мають розв'язки останнього рівняння для нескінченно великих значень   ( ). У цьому разі

 

та   де   При цьому енергія частки

 ,   непарне.

Хвильові функції  . А хвильові функції всередині ями, нормовані умовою:

 

мають вигляд

 ,   непарне.

Для станів з негативною парністю умови неперервності   та   у точках   приводять до системи рівнянь:

 

 

Із умови розв'язності цієї системи рівнянь маємо:

 

Враховуючи періодичність котангенса, можна отримати рівняння, що за формою збігається з трансцендентним попереднім рівнянням. При   воно визначає значення  , які відповідають дискретним станам негативної парності.

Таким чином, дискретні рівні енергії частки в симетричній потенційній ямі виражаються формулою

 , де   визначаються точками перетину прямої   та монотонно спадаючими функціями рівняння із арксинусом. Значення   відповідають станам позитивної парності, а значення   відповідають станам негативної парності.

Двовимірна прямокутна ямаРедагувати

Тривимірна прямокутна ямаРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Давидов О. С. Квантова механіка. — К. : Академперіодика, 2012. — 706 с.

ПосиланняРедагувати

Див. такожРедагувати