Нехай
℧
{\displaystyle \mho }
множина (класична). Нечітка множина
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
функцією належності :
μ
A
:
℧
→
[
0
;
1
]
{\displaystyle \mu _{\mathbf {A} }:\quad \mho \to [0;1]}
Порожня множина
μ
∅
(
x
)
=
0
{\displaystyle \mu _{\varnothing }(x)=0}
універсальна множина
μ
℧
(
x
)
=
1
{\displaystyle \mu _{\mho }(x)=1}
Якщо
μ
A
{\displaystyle \mu _{\mathbf {A} }}
{
0
,
1
}
{\displaystyle \{0,1\}}
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
A
⊆
℧
{\displaystyle \mathbf {A} \subseteq \mho }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
μ
A
(
x
)
{\displaystyle \mu _{\mathbf {A} }(x)}
x
{\displaystyle x}
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
Носій нечіткої множини
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
s
u
p
p
A
=
{
x
∈
℧
∣
μ
A
>
0
}
{\displaystyle \mathrm {supp} \ \mathbf {A} =\left\{x\in \mho \mid \mu _{\mathbf {A} }>0\right\}}
Множина рівня
α
{\displaystyle \alpha }
α
∈
[
0
;
1
]
{\displaystyle \alpha \in [0;1]}
A
α
=
{
x
∈
℧
∣
μ
A
≥
α
}
{\displaystyle \mathbf {A} _{\alpha }=\left\{x\in \mho \mid \mu _{\mathbf {A} }\geq \alpha \right\}}
Тоді
s
u
p
p
A
=
⋃
α
>
0
A
α
{\displaystyle \mathrm {supp} \ \mathbf {A} =\bigcup _{\alpha >0}\mathbf {A} _{\alpha }}
Якщо
℧
⊆
R
{\displaystyle \mho \subseteq \mathbb {R} }
зв'язні нечіткі множини називають нечіткими числами [en]
Оскільки інтервали можна розглядати як нечіткі числа, то арифметика нечітких чисел є узагальненням інтервальної арифметики .
ред.
Домінування (Вміщення)
ред.
Нехай
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
Говорять, що
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
∀
x
∈
E
:
μ
A
(
x
)
<
μ
B
(
x
)
{\displaystyle \forall x\in \mathbf {E} :\mu _{\mathbf {A} }(x)<\mu _{\mathbf {B} }(x)}
Позначення:
A
⊂
B
{\displaystyle \mathbf {A} \subset \mathbf {B} }
Інколи використовують термін «домінування», тобто у випадку, якщо
A
⊂
B
{\displaystyle \mathbf {A} \subset \mathbf {B} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
∀
x
∈
E
:
μ
A
(
x
)
=
μ
B
(
x
)
{\displaystyle \forall x\in \mathbf {E} :\mu _{\mathbf {A} }(x)=\mu _{\mathbf {B} }(x)}
Позначення:
A
=
B
{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {B} }
Нехай µ = [0, 1],
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
E
{\displaystyle \mathbf {E} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
∀
x
∈
E
:
μ
A
(
x
)
=
1
−
μ
B
(
x
)
{\displaystyle \forall x\in \mathbf {E} :\mu _{\mathbf {A} }(x)=1-\mu _{\mathbf {B} }(x)}
Доповнення нечіткої множини А позначається символом
A
¯
{\displaystyle {\overline {A}}}
Операція доповнення відповідає логічному запереченню.
Перетин
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
B
{\displaystyle \mathbf {B} }
A
∩
B
{\displaystyle \mathbf {A} \cap \mathbf {B} }
μ
A
∩
B
(
x
)
=
min
(
μ
A
(
x
)
,
μ
B
(
x
)
)
{\displaystyle \mu _{\mathbf {A} \cap \mathbf {B} }(x)=\min(\mu _{\mathbf {A} }(x),\ \mu _{\mathbf {B} }(x))}
Перетин відповідає логічній зв'язці «і».
A
∩
B
{\displaystyle \mathbf {A} \cap \mathbf {B} }
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
B
.
{\displaystyle \mathbf {B} .}
Об'єднання нечітких множин А і В (А + В)
A
+
B
=
∫
U
(
μ
_
A
(
u
)
I
^
μ
_
B
(
u
)
)
u
{\displaystyle A+B=\int _{U}^{}{\frac {\left(\mu \_A(u){\widehat {I}}\mu \_B(u)\ \right)}{u}}}
Об'єднання відповідає логічній зв'язці «або».
А ∪ В — найбільша нечітка підмножина, яка включає як А, так і В, з функцією приналежності:
µA ∪ B(x)= max(µA(x), µ B(x)).
A
⊕
B
=
(
A
−
B
)
∪
(
B
−
A
)
=
(
A
∪
B
)
−
(
A
∩
B
)
.
{\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} =\mathbf {(A-B)} \cup \mathbf {(B-A)} =(\mathbf {A} \cup \mathbf {B} )-(\mathbf {A} \cap \mathbf {B} ).}
А⊕B = (А — B) ∪ (B — А) = (А ∩) ∪ ∩ B) з функцією приналежності:
µA — B(x) = max {[min {µA(x), 1 — µB(x)}];
[min {1 — µA(x), µB(x)}] }
Добуток А і В позначається АВ і визначається
ред.
A
B
=
∫
U
(
μ
_
A
(
u
)
μ
_
B
(
u
)
)
u
{\displaystyle AB=\int _{U}^{}{\frac {\left(\mu \_A(u)\mu \_B(u)\ \right)}{u}}}
Піднесення до степеня
ред.
a
>
0
,
A
e
=
∫
U
(
μ
_
A
(
u
)
)
e
u
{\displaystyle a>0,A^{e}=\int _{U}^{}{\frac {\left(\mu \_A(u)\ \right)^{e}}{u}}}
Концентрація (частковий випадок піднесення до степеня):
ред.
C
O
N
(
A
)
=
A
2
{\displaystyle CON(A)=A^{2}}
Розтягування (розмивання):
ред.
D
I
L
(
A
)
=
A
{\displaystyle DIL(A)={\sqrt {A}}}
Нехай X і Y — дві заданих універсальних множини. Говорять, що наявна функція , визначена на X зі значенням у Y, якщо, у силу деякого закону f, кожному елементу
X
∈
X
{\displaystyle X\in \mathbb {X} }
y
∈
Y
{\displaystyle y\in \mathbb {Y} }
Коли функцію f :
X
→
Y
{\displaystyle X\to \mathbb {Y} }
відображенням , значення
f
(
x
)
∈
Y
{\displaystyle f(x)\in \mathbb {Y} }
x
∈
X
{\displaystyle x\in \mathbb {X} }
Образом множини
A
∈
X
{\displaystyle A\in \mathbb {X} }
c
∈
Y
{\displaystyle c\in \mathbb {Y} }
f
(
A
)
∈
Y
{\displaystyle f(A)\in \mathbb {Y} }
Дане класичне визначення відображення, яке у теорії нечітких множин називають чітким відображенням .
ред.
Нечітке відображення — це відображення [en]
φ
:
X
1
×
X
2
×
⋯
×
X
n
→
Y
{\displaystyle \varphi :\quad \mathbf {X} _{1}\times \mathbf {X} _{2}\times \cdots \times \mathbf {X} _{n}\to \mathbf {Y} }
Нечіткі відображення задаються функціями належності образів нечітких множин.
Тобто, якщо
μ
k
(
x
k
)
{\displaystyle ~\mu _{k}(x_{k})}
A
k
{\displaystyle \mathbf {A} _{k}}
B
⊂
Y
,
A
1
⊂
X
1
,
A
2
⊂
X
2
,
…
,
A
n
⊂
X
n
{\displaystyle \mathbf {B} \subset \mathbf {Y} ,\quad \mathbf {A} _{1}\subset \mathbf {X} _{1},\quad \mathbf {A} _{2}\subset \mathbf {X} _{2},\quad \ldots ,\quad \mathbf {A} _{n}\subset \mathbf {X} _{n}}
Тоді функція належності множини B задається у вигляді:
μ
B
=
s
u
p
p
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
∈
X
min
(
μ
1
(
x
1
)
μ
2
(
x
2
)
…
μ
n
(
x
n
)
μ
φ
(
x
1
…
x
n
y
)
)
{\displaystyle \mu _{\mathbf {B} }=\mathrm {supp} _{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\in \mathbf {X} }\min {\Big (}\mu _{1}(x_{1})\mu _{2}(x_{2})\ldots \mu _{n}(x_{n})\mu _{\varphi }(x_{1}\ldots x_{n}y){\Big )}}
Або:
μ
φ
(
x
1
…
x
n
)
=
s
u
p
p
x
1
,
…
,
x
n
φ
(
x
1
…
x
n
)
min
(
μ
a
1
(
x
1
)
,
…
,
μ
a
n
(
x
n
)
)
{\displaystyle \mu _{\varphi (x_{1}\ldots x_{n})}=\mathrm {supp} _{x_{1},\ldots ,x_{n} \atop \varphi (x_{1}\ldots x_{n})}\min {\Big (}\mu _{a_{1}}(x_{1}),\ldots ,\mu _{a_{n}}(x_{n}){\Big )}}
О. Ф. Волошин, С. О. Мащенко (2011). Моделі та методи прийняття рішень . Київ. В. Я. Півкін, Є. П. Бакулін, Д. І. Кореньков; (2001). Нечіткі множини в системах управління: навч. посібник [Електронний ресурс] .
![{\displaystyle \mu _{\mathbf {A} }:\quad \mho \to [0;1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6c6aa6f375f3358a14fed2b54df5f7b8efbf3dc)
![{\displaystyle \alpha \in [0;1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/717ea61ce8fc3f6d96d9a21e34c1c603d27508eb)
