Нечітка множина — поняття, введене Лотфі Заде в 1965 році в статті «Fuzzy Sets» в журналі Information and Control[en], в якому він розширив класичне поняття множини, допустивши, що характеристична функція множини (названа Заде функцією належності для нечіткої множини) може набувати будь-яких значень в інтервалі [0,1], а не тільки значень 0 або 1. Є базовим поняттям нечіткої логіки.

ВизначенняРедагувати

Нехай   — множина (класична). Нечітка множина   задається своєю функцією належності:

 

Порожня множина  , універсальна множина  .

Якщо   набуває значень  , то множина   — це класична підмножина,  , в іншому випадку множина   є нечіткою. Можна казати, що   — це ступінь належності елемента   до множини  .

Носій нечіткої множини   — це

 

Множина рівня  , де   — це

 

Тоді

 

Якщо  , то зв'язні нечіткі множини називають нечіткими числами[en].

Оскільки інтервали можна розглядати як нечіткі числа, то арифметика нечітких чисел є узагальненням інтервальної арифметики.

Операції над нечіткими множинамиРедагувати

Домінування (Вміщення)Редагувати

Нехай   і   — нечіткі множини на універсальній множині  .

Говорять, що   міститься в  , якщо  .

Позначення:  .

Інколи використовують термін «домінування», тобто у випадку, якщо  , говорять, що   домінує  .

РівністьРедагувати

  і   рівні, якщо  .

Позначення:  .

ДоповненняРедагувати

Нехай µ = [0, 1],   і   — нечіткі множини, задані на  .   і   доповнюють один одного, якщо

 .

Доповнення нечіткої множини А позначається символом  .

Операція доповнення відповідає логічному запереченню.

ПеретинРедагувати

Перетин   і   позначається   і визначається

 .

Перетин відповідає логічній зв'язці «і».   — найменша нечітка підмножина, яка міститься одночасно в   і  

Об'єднанняРедагувати

Об'єднання нечітких множин А і В (А + В)

 

Об'єднання відповідає логічній зв'язці «або».

А ∪ В — найбільша нечітка підмножина, яка включає як А, так і В, з функцією приналежності:

µA ∪ B(x)= max(µA(x), µ B(x)).

Диз'юнктивна сумаРедагувати

 

А⊕B = (А — B) ∪ (B — А) = (А ∩) ∪ ∩ B) з функцією приналежності:

µA — B(x) = max {[min {µA(x), 1 — µB(x)}];

[min {1 — µA(x), µB(x)}] }

Добуток А і В позначається АВ і визначаєтьсяРедагувати

 

Піднесення до степеняРедагувати

 

Концентрація (частковий випадок піднесення до степеня):Редагувати

 

Розтягування (розмивання):Редагувати

 

Чітке відображенняРедагувати

Нехай X і Y — дві заданих універсальних множини. Говорять, що наявна функція, визначена на X зі значенням у Y, якщо, у силу деякого закону f, кожному елементу   відповідає елемент  .

Коли функцію f :   називають відображенням, значення  , якого вона набуває на елементі  , звичайно називають образом елемента x.

Образом множини   при відображенні   називають множину   тих елементів Y, що є образами елементів множини А.

Дане класичне визначення відображення, яке у теорії нечітких множин називають чітким відображенням.

Нечітке відображенняРедагувати

Нечітке відображення— це відображення[en] виду:

 

Нечіткі відображення задаються функціями належності образів нечітких множин.

Тобто, якщо   — функція належності множини   та нехай

 

Тоді функція належності множини B задається у вигляді:

 

Або:

 

ДжерелаРедагувати

  • О. Ф. Волошин, С. О. Мащенко (2011). Моделі та методи прийняття рішень. Київ. 
  • В. Я. Півкін, Є. П. Бакулін, Д. І. Кореньков; (2001). Нечіткі множини в системах управління: навч. посібник [Електронний ресурс].