Нерівність Адамара

Нерівність Адамара (також теорема Адамара про визначники), визначає верхню межу об'єму паралелепіпеда в $n$-вимірному евклідовому просторі, заданого $n$ векторами. Названа на честь Жака Адамара.

Формулювання

Нехай $M$ — матриця стовпцями якої є вектори $v_{i}\in \mathbb {C} ^{n},\;i=1,\;2,\;\ldots ,\;n$. Тоді

$|\det(M)|\leqslant \prod _{i=1}^{n}{||v_{i}||}_{2},$

де ${||\cdot ||}_{2}$ — евклідова норма вектора, тобто для вектора $a=(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n})$ норма рівна $||a||_{2}:={\sqrt {|a_{1}|^{2}+|a_{2}|^{2}+\dotsb +|a_{n}|^{2}}}=\left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{2}\right)^{1/2}$

У випадку матриці з дійсними елементами, з точки зору геометрії нерівність стверджує, що об'єм $n$-вимірного паралелепіпеда є максимальним, коли його задають взаємно перпендикулярні вектори.

Для матриці $M$ її матриця Грама $A=M^{*}M$ є додатноозначеною. Окрім того $\det A=(\det M)^{2}$ і $a_{ii}={||v_{i}||}_{2}^{2}.$ Тому достатньо довести твердження:

Якщо матриця $A$ розмірності $n\times n$ є додатноозначеною, то

$|A|\leqslant a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}.$

Доведення

Визначник $|A|$ можна представити у вигляді

$|A|=a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&\ldots &a_{2n}\\a_{32}&\ldots &a_{3n}\\\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}.$

Так як $A$ додатноозначена, то і матриця, яка є першим доданком в сумі, теж додатноозначена. Позначимо $A'$ матрицю, що одержується з $A$ вилученням першого рядка і стовпця. Оскільки вона є додатноозначеною то додатноозначеною є і її союзна матриця (оскільки її власними значеннями будуть $\det A'/\lambda$ , де $\lambda$ — власні значення матриці $A'$). Проіндексуємо рядки і стовпці A' від 2 до $n$ (тобто кожен елемент буде мати той же індекс, що і в $A$). Якщо позначити $M^{ij}$ — мінор матриці $A'$ при вилученні $i$-го рядка і $j$-го стовпця, то елемент $A_{ij}$ союзної матриці буде рівним $(-1)^{i+j}M^{ij}$. Натомість у другому визначнику вище множник біля $a_{1j}a_{i1}$ буде рівний $(-1)^{1+j}(-1)^{1+i-1}M^{ij}$ тобто $-A_{ij}$.

Отже, квадратична форма по змінним $a_{12},\;a_{13},\;\ldots ,\;a_{1n}$, якою є другий доданок, є відємноозначеною. Тому

$|A|\leqslant a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&\ldots &a_{2n}\\a_{32}&\ldots &a_{3n}\\\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}$ і рівність є можливою тоді і лише тоді коли всі $a_{12},\;a_{13},\;\ldots ,\;a_{1n}$ є рівними нулю.

Звідси, застосовуючи індукцію, отримуємо необхідний результат.

Геометричне доведення

Виділимо в першому векторі дві складові $v_{1}=v_{S}+v_{N}$, перша належить підпростору векторів $v_{2},\ldots ,v_{n}$, а друга— ортогональна до нього. Тоді ${||v_{1}||}_{2}^{2}={||v_{N}||}_{2}^{2}+{||v_{S}||}_{2}^{2}\geqslant {||v_{N}||}_{2}^{2}$.

Позначимо $G(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})=|M^{*}M|$ — визначник Грама векторів $v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}$. Розкладемо його в суму за лівим верхнім елементом і використаємо властивості ортогональності:

${\begin{aligned}G(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})&=G(v_{N}+v_{S},v_{2},\ldots ,v_{n})=G(v_{N},v_{2},\ldots ,v_{n})+G(v_{S},v_{2},\ldots ,v_{n})=\\&=G(v_{N})G(v_{2},\ldots ,v_{n})={||v_{N}||}_{2}^{2}\cdot G(v_{2},\ldots ,v_{n})\leqslant {||v_{1}||}_{2}^{2}\cdot G(v_{2},\ldots ,v_{n}).\end{aligned}}$

Другий доданок є нульовим, бо вектори $v_{S},v_{2},\ldots ,v_{n}$ лінійно залежні. А перший доданок розкладеться в добуток за правилом Лапласа.

Звідси, застосовуючи індукцію, отримуємо необхідний результат.

Матриці Адамара

В комбінаториці матриці з елементами з $\{+1,\;-1\}$, для яких у нерівності Адамара виконується рівність, називаються матрицями Адамара. Таким чином, визначник таких матриць по модулю дорівнює $n^{\frac {n}{2}}$. З таких матриць отримують коди Адамара.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)
• R. Bellman, Introduction to Matrix Analysis, SIAM, Philadelphia, PA, USA, Ch. 8, § 7, 1997.
• F. J. MacWilliams and N. J. A. Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes, Amsterdam, Netherlands, North-Holland, § 2.3, 1977.
• E. F. Beckenbach and R. Bellman, Inequalities, Berlin-Gottingen-Heidelberg, Germany, Ch. 2, § 11, 1961.