Намисто Антуана

Намисто Антуана (антуанівська множина) — приклад підмножини евклідового простору, яка гомеоморфна канторовій множині, але при цьому має неоднозв'язне доповнення.

Перша ітерація

Друга ітерація

Побудував Луї Антуан 1921 року.

Побудова

Намисто будується як перетин спадної послідовності компактних множин:

$K_{1}\supset K_{2}\supset \dots$

такої, що кожне $K_{n}$ є об'єднанням скінченного числа неперетинних повноторів.

Якщо найбільший діаметр повнотора в $K_{n}$ прямує до нуля при $n\to \infty$, то перетин:

$K=\bigcap _{n}K_{n}$

є компактною цілком незв'язною множиною без ізольованих точок, а отже гомеоморфним канторовій множині.

З іншого боку, можна вибрати послідовність $K_{n}$ так, що доповнення до отриманого $K$ неоднозв'язне, для цього перетин $K_{n+1}$ з кожним повнотором у $K_{n}$ має утворювати замкнутий ланцюг, як на малюнку.

Див. також

• Дика сфера
• Дикий вузол
• Многовид Вайтгеда