Надскладене число

Надскладене число — натуральне число з більшою кількістю дільників, ніж у будь-якого меншого натурального числа.

Перші чотири надскладені числа: 1, 2, 4, 6 і їх розкладання на дільники

ІсторіяРедагувати

Термін запропонував Рамануджан 1915 року. Однак Жан-П'єр Кагане[en] розглядав їх раніше, і, можливо, вони були відомі вже Платону, який описав число 5040 як ідеальну кількість громадян міста, оскільки 5040 має більше дільників, ніж будь-яке менше число.[1]

ПрикладиРедагувати

У таблиці наведено перші 38 надскладених чисел (послідовність A002182 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Номер Надскладене Розклад

на прості

Кількість

дільників

Розклад на

прайморіали

1 1 1
2 2   2  
3 4   3  
4 6   4  
5 12   6  
6 24   8  
7 36   9  
8 48   10  
9 60   12  
10 120   16  
11 180   18  
12 240   20  
13 360   24  
14 720   30  
15 840   32  
16 1260   36  
17 1680   40  
18 2520   48  
19 5040   60  
20 7560   64  
21 10080   72  
22 15120   80  
23 20160   84  
24 25200   90  
25 27720   96  
26 45360   100  
27 50400   108  
28 55440   120  
29 83160   128  
30 110880   144  
31 166320   160  
32 221760   168  
33 277200   180  
34 332640   192  
35 498960   200  
36 554400   216  
37 665280   224  
38 720720   240  

Розклад на простіРедагувати

У розкладанні надскладених чисел беруть участь найменші прості множники, і при цьому не надто багато однакових.

За основною теоремою арифметики кожне натуральне число   має єдиний розклад на прості:

 

де   прості, і показники   додатні цілі числа. Кількість дільників   числа   можна виразити так:

 

Таким чином, для надскладеного числа   виконується таке:

  • Числа   є першими   простими числами.
  • Послідовність степенів повинна бути незростаюча, тобто   .
    • Ця властивість рівнозначна тому, що надскладене число є добутком прайморіалів.
  • За винятком двох особливих випадків n = 4 та N = 36, останній степінь   дорівнює одиниці.

Зокрема тільки 1, 4 і 36 є надскладеними квадратами.

Хоча описані вище умови є необхідними, вони не є достатніми. Наприклад, 96 = 2 5 × 3 задовольняє всім перерахованим вище умовам і має 12 дільників, але не є надскладеним, оскільки існує менше число 60, яке має таку саму кількість дільників.

Асимптотичне зростання і щільністьРедагувати

Існують сталі a і b, обидві більші, ніж 1, такі, що

 

де   позначає кількість надскладених чисел менших або рівних   .

Першу частину нерівності довів Пал Ердеш 1944 року; другу довів Жан-Луї Ніколя[en] 1988 року.

 

і

 

ВластивостіРедагувати

  • Всі надскладені числа, більші від 6, є надлишковими.
  • Не всі надскладені числа є числами харшад за основою 10;
    • перший контрприклад це 245 044 800: це число має суму цифр 27, але на 27 не ділиться.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Kahane, Jean-Pierre (February 2015). Bernoulli convolutions and self-similar measures after Erdős: A personal hors d'oeuvre. Notices of the American Mathematical Society 62 (2): 136–140. .

ДжерелаРедагувати


ПосиланняРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • О. Оре. Приглашение в теорию чисел. — М. : Наука, 1980. — 128 с. — (выпуск 3 серии «Библиотечка квант»). — 150 000 екз.