Метод Феррарі — аналітичний метод розв'язання рівняння четвертого степеня. Названа на честь її автора Феррарі Лодовіко.


Канонізація рівняння четвертого степеняРедагувати

Нехай

 

рівняння четвертого степеня, яке треба розв'язати. Поділимо обидві частини на A,

 

Наступним кроком позбавимося члена x3. Для цього зробимо підстановку

 .

Отримаємо

 

Розкриємо дужки, піднісши до відповідних степенів

 

Зведемо подібні доданки

 

Перепозначимо коефіцієнти при u. Нехай

 
 
 

Отже, ми отримали рівняння

 

яке називається канонічним рівнянням четвертого степеня.

Якщо  , то ми отримаємо біквадратне рівняння, яке легко розв'язується.

Розв'язок ФерраріРедагувати

Розглянемо суть методу Феррарі для розв'язання канонічного рівняння четвертого степеня. Для цього спочатку запишемо очевидну тотожність

 

і додамо її до рівняння (1), отримаємо

 

Це було зроблено для того, щоб замість u4 отримати повний квадрат: (u2 + α)2. Другий доданок, αu2 не зник, проте його знак замінився на протилежний і він перемістився на інший бік рівняння.

Наступним кроком є введення нової змінної y до повного квадрата у рівнянні (2), і перенесення 2y разом з коефіцієнтом u2 до правої частини. Отримаємо тотожну рівність, яку ми потім додамо до рівняння (2)

 

також розглянемо очевидну рівність

 

Додамо дві останні рівності, отримаємо

 

Додавши цю рівність до (2), отримаємо

 

Ця рівність еквівалентна

 

Виберемо змінну y так, щоб у правій частині рівності (3) утворився повний квадрат. Це станеться, якщо дискримінант правої частини дорівнюватиме 0. Для пояснення цього явища, розглянемо повний квадрат як деяку квадратичну функцію:

 

Квадратична функція з правого боку нерівності має три коефіцієнти. Можна переконатися, що квадрат другого з них мінус почетверений добуток першого на третього дасть нуль:

 

Тому, для того, щоб перетворити праву частину рівняння (3) на повний квадрат, потрібно розв'язати щодо параметра y таке рівняння:

 

Виконаємо множення і зведемо подібні доданки при y,

 

Поділимо обидві частини на −4, і перенесемо −β2/4 у праву частину,

 

Маємо кубічне рівняння щодо y. Поділимо обидві частини на 2,

 
Перетворення похідного кубічного рівняння до канонічного виглядуРедагувати

Рівняння (4) є похідним кубічним рівнянням від рівняння четвертого степеня. Щоб його розв'язати, потрібно привести його до канонічного вигляду. Зробимо заміну

 

Рівняння (4) набуває вигляду

 

Розкриємо дужки:

 

Зведемо подібні доданки при степенях v, врахувавши, що коефіцієнт при v2 дорівнює нулю і цей доданок знищується,

 

Ми отримали канонічне кубічне рівняння.

Перепозначимо його коефіцієнти,

 
 

Отримаємо рівняння:

 
Розв'язання похідного кубічного рівнянняРедагувати

Розглянемо питання про розв'язання (нас задовольнить будь-який розв'язок) рівняння (5).

Позначимо:  
(взято з кубічне рівняння),

отримається такий розв'язок кубічного рівняння (4) є:

 

Можна показати, що мають місце залежності

1:  
2:  
Видобування кореня з обох частин і завершення розв'язуванняРедагувати

Розглянемо схему згортання повного квадрата:

 
Вона є вірною для обох знаків квадратних коренів, якщо їх брати однаковими. Ми не будемо писати власне знак ±, оскільки це викликатиме певні труднощі, зважаючи на те, що далі вживатимуться інші знаки ±, які виникнуть потім. Натомість, поряд з цим знаком ми будемо ставити індекс, що являтиме собою змінну, знак якої береться до уваги.

Зважаючи на це, ми отримаємо:

 .
Зауваження: Якщо β ≠ 0 тоді α + 2y ≠ 0. А якщо β = 0, то ми отримаємо біквадратне рівняння, що було розглянуте вище.

Зважаючи на це (3) перетворюється на:

 .

Рівність (7) містить лише повні квадрати: один у лівій частині і один — у правій.

Якщо квадрати двох виразів рівні, то і самі вирази рівні або відрізняються лише знаком, тобто:

 .

Зведемо подібні доданки при u:

 .
Зауваження: Знаки s, що фігурують у фомулі як   і   є величинами залежними.

Рівняння (8) є квадратним рівнянням щодо u. Його розв'язок має вигляд

 

Або, після спрощення

 

Це розв'язок канонічного квадратного рівняння. Розв'язок вихідного рівняння можна подати у вигляді

 
Важливо: Два знаки   отримані з рівняння (7') є залежними, тому являють собою один і той самий знак, а знак   — незалежний.
Підсумки методу ФерраріРедагувати

Розв'язок рівняння четвертого степеня

 

знаходиться після проведення обчислень:

 
 
 
Якщо   то доречно розв'язувати   і підстановкою   знаходити корені
 .
 
 
 , (підходять обидва знаки квадратного кореня)
 , (в цього рівняння існують три комплексні корені, будь-який з них нас задовольнить)
 
 
 
Два символи ±s повинні мати однакові знаки, а символ ±t — незалежний. Щоб знайти всі корені, треба знайти значення x для всіх комбінацій символів ±st: спочатку тореба розв'язати для випадку +,+ , потім для +,− , далі — для −,+ і наостанок — для −,−. Корінь подвійної кратності ми отримаємо двічі, потрійної — тричі, а корінь кратності чотири — чотири рази (щоправда, у цьому випадку у нас був би випадок, коли β = 0, який не є загальним, а призводить до біквадратного рівняння). Порядок коренів визначається тим, яке U було обрано.