Матрична функція
Ця стаття має кілька недоліків. Будь ласка, допоможіть удосконалити її або обговоріть ці проблеми на сторінці обговорення.
|
Функція матриці — функція, яка відображає одну матрицю у другу матрицю.
Приклади
ред.Приклад 1
ред.Нехай — симетрична матриця. Існує така ортогональна матриця , що перетворення подібності
приводить її до діагональної форми, де на головній діагоналі стоять власні значення матриці, а усі інші елементи матриці — нулі. За допомогою такого перетворення можна отримувати функції від матриць.
Нехай
- аналітична функція в околі точки 0. Тоді, якщо усі власні значення матриці лежать у цьому околі, можна визначити матрицю
де — симетрична матриця. Скористуймося перетворенням подібності, визначеним вище:
Помноживши ліворуч на матрицю , а праворуч на , отримаємо
Приклад 2
ред.Нехай задані дві матриці , для кожної з яких відомі матриці перетворення подібності, які переводять кожну з них до діагонального вигляду. Перетворення подібності для їх суми невідоме, як і факт наявності або відсутності приєднаних векторів, а необхідно знайти матрицю , не застосовуючи накопичуваної помилки побудови ряду, в якому бере участь багатократне перемноження матриць. Можна знайти окремо матриці та . Спробуймо визначити, чи є справедливою рівність
(1)
Використовуючи ряди Тейлора,
де
(2)
називається антикомутатором матриць .
Необхідною умовою виконання рівності (1) є переставність матриць , тобто рівність нулю комутатора (2). Відзначмо, що комутатор є антисиметричним відносно перестановки матриць
.
Можна скористатися цією властивістю для апроксимації оператора у вигляді добутку операторів виду та . Розгляньмо добуток
Тут ми скористалися зміною знаку комутатора при перестановці операторів й відкинули член із парним степенем у виразі для помилки апроксимації. Щоб ще раз підвищити порядок апроксимації, треба відкинути член з непарним степенем оператор при якому складається із суми парної та непарної відносно перестановки операторів та частин. Для цього розгляньмо добуток
При отримаємо апроксимацію порядку , складену у вигляді добутку семи експонент операторів та .
Таким чином, якщо ми хочемо відкинути черговий парний член апроксимації, необхідно скористатися зміною місць операторів та у вже отриманій конструкції.
Операторна експонента буде знайденою у точці
,
де .
Див. також
ред.Джерела
ред.- Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — ISBN 5-9221-0524-8.(рос.)
- Ланкастер П. Теория матриц. — 2. — Москва : Наука, 1982. — 272 с.(рос.)
- Р.Хорн, Ч.Джонсон. Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)
- Юнавский А. Д. — Моледирование нелинейного уравнения Шредингера.