Матрична еквівалентність

У лінійній алгебрі дві прямокутні матриці $A$ і $B$ розміру $m\times n$ називають еквівалентними, якщо

$B=Q^{-1}AP$

для деякої оберненої матриці $P$ розміром $n\times n$ і деякої оберненої матриці $Q$ розміром $m\times m$. Еквівалентні матриці представляють те саме лінійне перетворення $V$ → $W$ при двох різних виборах пари базисів $V$ і $W$, де $P$ і $Q$ є зміною базисних матриць у $V$ і $W$ відповідно.

Поняття еквівалентності не слід плутати з поняттям подібності, яке визначено лише для квадратних матриць і є більш обмежувальним (подібні матриці, звичайно, еквівалентні, але еквівалентні квадратні матриці не обов'язково будуть подібними). Це поняття відповідає матрицям, що представляють той самий ендоморфізм $V$ → $V$ при двох різних виборах одного базису $V$, що використовується як для початкових векторів, так і для їх образів.

Властивості

Еквівалентність матриць — це відношення еквівалентності на просторі прямокутних матриць.

Для двох прямокутних матриць однакового розміру можна охарактеризувати їх еквівалентність наступними умовами:

• Матриці можуть бути перетворені одна в одну комбінацією елементарних операцій над рядками та стовпцями.
• Дві матриці еквівалентні тоді й лише тоді, коли вони мають однаковий ранг.

Ці матриці еквівалентні рядки, то матриці також еквівалентні. Однак зворотне не вірно; еквівалентні матриці, не обов'язково мають еквівалентні рядки. Таким чином, еквівалентність матриць є узагальненням еквівалентності рядків.

Канонічна форма

Властивість рангу дає інтуїтивно зрозумілу канонічну форму для матриць класу еквівалентності рангу $k$ як

${\begin{pmatrix}1&0&0&&\cdots &&0\\0&1&0&&\cdots &&0\\0&0&\ddots &&&&0\\\vdots &&&1&&&\vdots \\&&&&0&&\\&&&&&\ddots &\\0&&&\cdots &&&0\end{pmatrix}}$,

де кількість одиниць на діагоналі дорівнює $k$. Це окремий випадок нормальної форми Сміта, яка узагальнює цю концепцію на векторні простори до вільних модулів над областями головних ідеалів. Таким чином:

Теорема: Будь-яка $m\times n$ матриця рангу $k$ є еквівалентною матриці $m\times n$, у якій усі нулі, крім перших $k$ діагональних елементів, які є одиницями.

Наслідок: Класи еквівалентних матриць характеризуються рангом: дві матриці однакового розміру є еквівалентними тоді й лише тоді, коли вони мають однаковий ранг.

Матриці 2 на 2

Матриці $2\times 2$ мають лише три можливі ранги: 0, 1 або 2. Це означає, що всі матриці $2\times 2$ еквівалентні одному з трьох класів матриць:

${\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.$

Це означає, що будь-яка $2\times 2$ матриця еквівалентна одній із цих. Існує лише одна матриця нульового рангу, але інші два класи мають нескінченну кількість членів. Представлені вище матриці є найпростішими два кожного з класів.

Подібність матриці

Подібність матриць є окремим випадком еквівалентності матриць. Якщо дві матриці подібні, то вони також еквівалентні. Однак зворотнє твердження невірне. Наприклад, наступні дві матриці є еквівалентними, але не є подібними:

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad {\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}}.$

Див. також

• Еквівалентність рядків
• Конгруентність матриці

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)