У лінійній алгебрі, базис для векторного простору це лінійно незалежна множина для якої цей простір є лінійною оболонкою.[1][2][3] Ця стаття здебільшого розглядає скінченно-вимірні векторні простори, але багато теорем мають місце для нескінченно-вимірних векторних просторів.[3] Базис векторного простору розмірності n це множина з n векторів (α1, …, αn), які називають базисними векторами, з властивістю, що будь-який вектор цього простору можна представити як унікальну лінійну комбінацію базисних векторів.[4][5][3] Матриці переходу операторів також визначені вибраним базисом. Через те, що часто бажано працювати з більше ніж одним базисом для векторного простору, у лінійній алгебрі засадничо важливо бути здатним легко переходити від координатних представлень векторів і операторів в одному базисі до їх тотожних представлень в іншому базисі. Такий перехід називається зміною базису.[6][7][8]

Лінійні комбінації однієї базисної множини векторів (фіолетові) формують нові вектори (червоні). Якщо вони лінійно незалежні, то вони утворюють нову базисну множину. Лінійні комбінації, що пов'язують першу множину і другу становлять лінійне відображення, яке називається зміною базису.
Вектор представлено в двох різних базисах (фіолетові і червоні стрілки).

Хоча символ R, що ми його використовуємо нижче може позначати поле дійсних чисел, результати дійсні і, якщо R замінено на будь-яке поле F. Хоча нижче використано термінологію векторних просторів, обговорені результати дійсні і тоді коли R це комутативне кільце а векторний простір повсюдно замінено на вільний R-модуль.

Матриця переходуРедагувати

ОзначенняРедагувати

Матрицею переходу в  -вимірному просторі від базису   до базису   називається квадратна матриця, стовпці якої — координати розкладу векторів   у базисі  .

А саме нехай виконуються рівності (де всі коефіцієнти однозначно визначені, бо   є базисом):

 
 
 .
 

Тоді матриця переходу має вигляд:

 

Якщо записувати базиси за допомогою вектор-рядків елементами яких є базисні вектори, то можна у матричній формі записати:

 

ВластивостіРедагувати

  • Матрицею переходу від довільного базису   до самого себе є одинична матриця.
  • Якщо  ,   і   є трьома базисами одного векторного простору і   є матрицею переходу від   до базису   а   є матрицею переходу від базису   до базису  , то матриця переходу від   до   є добутком цих матриць:
 
  • Зокрема із попереднього випливає, що матриця переходу між будь-якими матрицями є невиродженою і матриця зворотного переходу є оберненою до даної матриці переходу:
 .
  • Якщо розглядається векторний простір над полем дійсних чисел і базис   є ортонормованим щодо деякого скалярного добутку на просторі, то базис   буде ортонормованим тоді і тільки тоді, коли матриця переходу   буде ортогональною. У випадку комплексних векторних просторів таке саме твердження справедливе для унітарних матриць і ермітових скалярних добутків.

Перетворення координат вектора при зміні базисуРедагувати

Нехай деякий довільний вектор   виражається через вектори у базисах   і   як

 

і

 

Ці рівності дозволяють ввести координатні вектор-стовпці і за допомогою матричного добутку і означення матриці переходу записати:

 

Із однозначності запису вектора через базис звідси випливає формула перетворення координат при зміні базису:

 

Тобто якщо координати деякого вектора у базисі   утворюють вектор стовпець  , а у базисі   утворюють вектор стовпець  , то

 

Важливо помітити зміну порядку у цій формулі. Якщо матриця   визначає перехід від базису   до базису  , то формула перетворення координат задає перехід навпаки від координат у базисі   до координат у базисі  . Тому матрицю   можна також називати матрицею переходу від координат у базисі   до координат у базисі  .

У такій інтерпретації можна також дати означення матриці переходу через матриці лінійного відображення. Стовпцями такої матриці   є координати   у базисі  . Якщо вибрати тотожне лінійне перетворення то стовпцями матриці   будуть координати розкладів векторів із   у базисі  . Тому

 .

Зміна порядку базисів у правій і лівій частині не є помилково.

ПрикладиРедагувати

Два виміриРедагувати

У двовимірному просторі, двійка векторів отриманих обертанням стандартного базису проти годинникової стрілки на 45° є базисом простору. Матриця чиї стовпчики є координатами цих векторів у початковому базисі має вид:

 

Якщо ми хочемо перевести будь-який вектор простору в цей базис, нам треба помножити зліва його компоненти на обернену до цієї матрицю,[9] а щоб перевести вектор з координатами у новому базисі у координати стандартного потрібно нові координати помножити на саму матрицю.

Три виміриРедагувати

Нехай R буде новим базисом заданим за допомогою кутів Ейлера. Матриця цього базису в якості стовпців матиме компоненти кожного з векторів у стандартному базисі. Отже, ця матриця виглядає так (Див. статтю Ейлерові кути):

 

Знов-таки, будь-який вектор простору можна перевести в цей новий базис домножуючи його зліва на обернену до цієї матриці.

Перетворення матриці лінійного відображення при зміні базисуРедагувати

Нехай задані векторні простори   і   над одним полем і для простору   вибрані два базиси   і   а у просторі   вибрані два базиси   і   Нехай   і   є відповідними переходами між базисами у двох просторах.

Якщо тепер   є лінійним відображенням то у відповідних базисах воно задається матрицями   і  . Якщо   є довільним вектором, координати якого у базисах   і   можна записати за допомогою вектор стовпців   і  , то   є вектором простору   координати якого у базисах   можна записати за допомогою вектор стовпців   і  .

У цих позначеннях у матричному записі враховуючи означення матриць переходу і лінійного відображення:

 

Оскільки вказані рівності справедливі для координатних стовпців усіх векторів  , то   є однозначно визначеною матрицею відображення   у базисах   і  :

 

Зокрема якщо   і   є лінійним перетворенням, то його матриці у базисах   і   пов'язані співвідношенням:

 .

У простіших позначеннях, якщо   є матрицею перетворення у базисі  , а   є матрицею перетворення у базисі   і  , то:

 .

Матриця білінійної формиРедагувати

Білінійна форма на векторному просторі V над полем R це відображення V × VR лінійне щодо обох аргументів. Тобто, B : V × VR білінійна, якщо відображення

 
 

лінійні для будь-якого y з V. Це визначення також застосовне для модуля над комутативним кільцем і гомоморфізмом модуля в якості лінійного відображення.

Матриця Грама G, що відповідає базису   визначена так

 

Якщо   і   це представлення векторів x, y у цьому базисі, тоді білінійна форма задана так

 

Матриця буде симетрична якщо білінійна форма B це симетрична білінійна форма.

Зміна базисуРедагувати

Якщо задано два базиси   і  ,   є матрицею Грама у першому базисі, а   є матрицею грама у другому базисі, то ці матриці пов'язана співвідношенням із матрицею переходу  :

 

ПриміткиРедагувати

  1. Anton, (1987, с. 171)
  2. Beauregard та Fraleigh, (1973, с. 93)
  3. а б в Nering, (1970, с. 15)
  4. Anton, (1987, с. 74–76)
  5. Beauregard та Fraleigh, (1973, с. 194–195)
  6. Anton, (1987, с. 221–237)
  7. Beauregard та Fraleigh, (1973, с. 240–243)
  8. Nering, (1970, с. 50–52)
  9. Change of Basis - HMC Calculus Tutorial. www.math.hmc.edu. Архів оригіналу за 16 липня 2016. Процитовано 22 серпня 2017.  і пояснення / доведення Why?. www.math.hmc.edu. Архів оригіналу за 22 серпня 2017. Процитовано 22 серпня 2017. 

ПосиланняРедагувати