Лема Брезіса–Лієба

У математичному аналізі лема Брезіса–Лієба є основним результатом в теорії міри. Вона названа на честь Хайма Брезіса[en] та Елліотта Ліба[en], які довели її в 1983 році. Лему можна розглядати за певних умов як покращення леми Фату до рівності. Вона була корисна при дослідженні багатьох варіаційних проблем.[1]

Лема та її доведенняРедагувати

Твердження лемиРедагувати

Нехай   — простір з мірою, а   — послідовність вимірних комплекснозначних функцій на  , які майже скрізь збігаються до функції  . Гранична функція   — вимірна автоматично. Лема Брезіса–Лієба стверджує, що якщо   — додатне число, то

 

за умови, що послідовність   є рівномірно обмеженою у просторі  .[2] Суттєвим наслідком, який посилює лему Фату у застосуванні до послідовності  , є рівність

 

що випливає з нерівності трикутника. Цей наслідок часто приймають як твердження леми, хоча він не має більш прямого доведення.[3]

ДоведенняРедагувати

Доведення базується на нерівностях

 

Наслідком є те, що  , яке майже скрізь збігається до нуля, обмежується зверху інтегровною функцією, незалежно від  . Спостерігаємо, що

 

а застосування теореми Лебега про мажоровану збіжність до першого члена з правої частини показує, що

 

Обмеженість супремуму у правій частині при довільному   показує, що ліва частина повинна бути нульовою.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Lions 1985.
  2. Brézis & Lieb 1983, Theorem 2; Bogachev 2007, Proposition 4.7.30; Lieb & Loss 2001, Theorem 1.9.
  3. Brézis & Lieb 1983, Theorem 1; Evans 1990, Theorem 1.8; Willem 1996, Lemma 1.32.

ДжерелаРедагувати

  • V.I. Bogachev. Measure theory. Vol. I. Springer-Verlag, Berlin, 2007. xviii+500 pp. ISBN 978-3-540-34513-8
  • Haïm Brézis and Elliott Lieb. A relation between pointwise convergence of functions and convergence of functionals. Proc. Amer. Math. Soc. 88 (1983), no. 3, 486—490. DOI:10.1090/S0002-9939-1983-0699419-3  
  • Lawrence C. Evans. Weak convergence methods for nonlinear partial differential equations. CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 74. Published for the Conference Board of the Mathematical Sciences, Washington, DC; by the American Mathematical Society, Providence, RI, 1990. viii+80 pp. ISBN 0-8218-0724-2
  • P.L. Lions. The concentration-compactness principle in the calculus of variations. The limit case. I. Rev. Mat. Iberoamericana 1 (1985), no. 1, 145—201.
  • Elliott H. Lieb and Michael Loss. Analysis. Second edition. Graduate Studies in Mathematics, 14. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. xxii+346 pp. ISBN 0-8218-2783-9
  • Michel Willem. Minimax theorems. Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, 24. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1996. x+162 pp. ISBN 0-8176-3913-6