Вікіпедія

Куб Фібоначчі

Куби Фібоначчі, або мережі Фібоначчі, — це сімейство неорієнтованих графів з багатими рекурсивними властивостями, що виникло в теорії чисел. Математично ці куби схожі на графи гіперкуба, але з числом вершин, рівним числу Фібоначчі. Куби Фібоначчі вперше явно визначив у своїй статті Сюй[1] в контексті взаємозв'язків топологій для зв'язку систем паралельних обчислень або розподілених систем. Вони застосовуються також в хімічній теорії графів.

Куб Фібоначчі можна визначити в термінах кодів Фібоначчі та відстані Геммінга, незалежних множин вершин у шляхах, або через дистрибутивні ґратки.

Визначення

ред.
 
Куби Фібоначчі (намальовані червоним кольором) як підграфи гіперкубів
 
Куб Фібоначчі порядку 6

Подібно до графа гіперкуба, вершини куба Фібоначчі порядку n можна позначити бітовими рядками довжини n таким чином, що дві вершини суміжні, якщо їхні мітки відрізняються одним бітом. Однак в кубі Фібоначчі дозволені тільки мітки, які (як бітові рядки) не мають двох одиниць поспіль. Є   можливих міток, де   позначає  -е число Фібоначчі, а тому є   вершин в кубі Фібоначчі порядку n.

Вузлам таких мереж можуть бути призначені послідовні цілі числа від   до   . Бітові рядки, які відповідають цим числам, задаються їх поданнями Цекендорфа[2].

Алгебрична структура

ред.

Куб Фібоначчі порядку   є симплектичним графом[en] доповнення графа шляху з   вершинами[3]. Тобто, кожна вершина куба Фібоначчі представляє кліку в доповненні шляху або, що еквівалентно, в незалежній множині в самому шляху. Дві вершини куба Фібоначчі суміжні, якщо кліки або незалежні множини, які вони представляють, відрізняються видаленням або додаванням одного елемента. Тому, подібно до інших симплексних графів, куби Фібоначчі є медіанними графами[ru] і, більш загально, частковими кубами[4][5]. Медіана будь-яких трьох вершин куба Фібоначчі може бути знайдена шляхом обчислення побітової мажоритарної функції трьох міток. Якщо кожна із трьох міток не має двох послідовних бітів 1, то це виконується і для їх мажоритарного значення.

Куб Фібоначчі є також графом дистрибутивної ґратки, яка може бути отримана через теорему Біркгофа[en] з «паркану[en]», частково впорядкованої множини, визначеної почерговою послідовністю відношень  [6]. Є також альтернативний опис мовою теорії графів тієї ж ґратки: незалежні множини будь-якого двочасткового графа можуть бути дані в певному порядку, в якому одна незалежна множина менша від іншої, якщо вони отримані шляхом видалення елементів з однієї частини і додавання елементів в іншу частину. З цим порядком незалежні множини утворюють дистрибутивну ґратку[7], а застосування даної побудови до графа-шляху призводить до асоціації решітки з кубом Фібоначчі.

Властивості й алгоритми

ред.

Куб Фібоначчі порядку   можна розбити на куб Фібоначчі порядку   (розмітка вузлів починається з біта, що має значення 0) і куб Фібоначчі порядку   (вузли починаються з біта значенням 1)[8].

Будь-який куб Фібоначчі має гамільтонів шлях. Конкретніше, існує шлях, який обходить розбиття, описане вище — він відвідує вузли спочатку з 0, а потім з 1 у двох неперервних підпослідовностях. У цих двох підпослідовностях шлях може бути побудований рекурсивно за тим самим правилом, з'єднуючи дві підпослідовності кінцями, на яких другий біт має значення 0. Тоді, наприклад, у кубі Фібоначчі порядку 4 послідовністю, побудованою таким чином, буде (0100-0101-0001- 0000-0010) — (1010-1000-1001), де дужки показують підпослідовності двох підграфів. Куби Фібоначчі з парним числом вузлів, більшим від двох, мають гамільтонів цикл[9].

Мунаріні і Сальві[10] вивчали радіус і число незалежності кубів Фібоначчі. Оскільки ці графи двочасткові і мають гамільтонів шлях, їхні максимальні незалежні множини мають число вершин, що дорівнює половині вершин усього графа, округлене до найближчого цілого[11]. Діаметр куба Фібоначчі порядку n дорівнює n, а його радіус дорівнює n/2 (знову, округлений до найближчого цілого)[12].

Тараненко і Весель[13] показали, що можна перевірити, чи є граф кубом Фібоначчі за час, близький до його розміру.

Застосування

ред.

Сюй[1], а також Сюй, Пейдж і Лью[14] запропонували використовувати куби Фібоначчі як мережеву топологію в системах паралельних обчислень. Як комунікаційна мережа куб Фібоначчі має корисні властивості, подібні до властивостей гіперкуба — число інцидентних ребер на одну вершину не більше ніж  , і діаметр мережі не перевищує  , обидва значення пропорційні логарифма числа вершин, а можливість розбити мережу на менші підмережі того ж типу дозволяє розщепити багато завдань паралельних обчислень[9]. Куби Фібоначчі підтримують також ефективні протоколи для маршрутизації і широкомовлення в системах розподілених обчислень[1][15].

Клавжар і Жігерт застосували куби Фібоначчі в хімічній теорії графів як опис сімейства досконалих парувань деяких молекулярних графів[16]. Для молекулярної структури, описуваної планарним графом  , резонансним графом (або графом  -перетворення) графа   є граф, вершини якого описують досконалі парування графа  , а ребра якого з'єднують пари досконалих парувань, симетрична різниця яких є внутрішньою гранню графа  . Поліциклічні ароматичні вуглеводні можуть бути описані як підграфи шестикутної мозаїки площини, а резонансні графи описують можливі структури з подвійними зв'язками цих молекул. Як показали Клавжар і Жігерт[16], вуглеводні, утворені ланцюжками шестикутників, сполучених ребро до ребра без трьох суміжних шестикутників на прямій, мають резонансні графи, які точно є графами Фібоначчі. Більш загально, Чжан, Оу і Яо описали клас планарних двочасткових графів, які мають куби Фібоначчі як графи резонансу[17][3].


Пов'язані графи

ред.

Узагальнені куби Фібоначчі запропонували Сюй і Чжан[18], базуючись на числах Фібоначчі  -го порядку, які пізніше Сюй, Чжан і Дас, ґрунтуючись на більш загальних видах лінійних рекурсій, розширили на клас мереж, названих лінійними рекурсивними мережами[19]. Ву модифікував куби Фібоначчі другого порядку, ґрунтуючись на інших початкових умовах[20]. Інший пов'язаний граф — куб Люка, з кількістю вершин, рівним числу Люка, визначений з куба Фібоначчі шляхом заборони біта зі значенням 1 як у першій, так і в останній позиції кожного бітового рядка. Дідо, Торрі і Салві використовували властивості розмальовки як кубів Фібоначчі, так і кубів Люка[21].

Примітки

ред.
  1. ↑ а б в Hsu, 1993.
  2. ↑ Klavžar, 2011, с. 3—4.
  3. ↑ а б Klavžar, 2011, с. 3.
  4. ↑ Klavžar, 2005.
  5. ↑ Klavžar, 2011, с. Theorem 5.1.
  6. ↑ Ганснер (Gansner, 1982) каже як про «добре відомий факт», що ця ґратка має число елементів, рівне числу Фібоначчі, а Стенлі (Stanley, 1986) переносить цей факт у вправи. Див. також Höft та Höft, 1985, Beck, 1990 і Salvi та Salvi, 2008.
  7. ↑ Propp, 1997.
  8. ↑ Klavžar, 2011, с. 4—5.
  9. ↑ а б Cong, Zheng, Sharma, 1993.
  10. ↑ Munarini, Salvi, 2002.
  11. ↑ Klavžar, 2011, с. 6.
  12. ↑ Klavžar, 2011, с. 9.
  13. ↑ Taranenko, Vesel, 2007.
  14. ↑ Hsu, Page, Liu, 1993.
  15. ↑ Stojmenovic, 1998.
  16. ↑ а б Klavžar, Žigert, 2005.
  17. ↑ Zhang, Ou, Yao, 2009.
  18. ↑ Hsu, Chung, 1993.
  19. ↑ Hsu, Chung, Das, 1997.
  20. ↑ Wu, 1997.
  21. ↑ Dedó, Torri, Salvi, 2002.

Література

ред.
  • István Beck. Partial orders and the Fibonacci numbers // Fibonacci Quarterly. — 1990. — Т. 28, вип. 2. — С. 172–174.
  • Cong B., Zheng S. Q., Sharma S. On simulations of linear arrays, rings and 2D meshes on Fibonacci cube networks // Proc. 7th Int. Parallel Processing Symposium. — 1993. — С. 748–751. — DOI:10.1109/IPPS.1993.262788.
  • Ernesto Dedó, Damiano Torri, Norma Zagaglia Salvi. The observability of the Fibonacci and the Lucas cubes // Discrete Mathematics[en]. — 2002. — Т. 255, вип. 1–3. — С. 55–63. — DOI:10.1016/S0012-365X(01)00387-9.
  • Emden R. Gansner. On the lattice of order ideals of an up-down poset // Discrete Mathematics. — 1982. — Т. 39, вип. 2. — С. 113–122. — DOI:10.1016/0012-365X(82)90134-0.
  • Hartmut Höft, Margret Höft. A Fibonacci sequence of distributive lattices // Fibonacci Quarterly. — 1985. — Т. 23, вип. 3. — С. 232–237.
  • Hsu W.-J. Fibonacci cubes: a new interconnection topology // IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems. — 1993. — Т. 4, вип. 1. — С. 3–12. — DOI:10.1109/71.205649.
  • Hsu W.-J., Chung M. J. Generalized Fibonacci cubes // 1993 International Conference on Parallel Processing - ICPP'93. — 1993. — Т. 1. — С. 299–302. — DOI:10.1109/ICPP.1993.95.
  • Hsu W.-J., Page C. V., Liu J.-S. Fibonacci cubes: a class of self-similar graphs // Fibonacci Quarterly. — 1993. — Т. 31, вип. 1. — С. 65–72.
  • Hsu W.-J., Chung M. J., Das A. Linear recursive networks and their applications in distributed systems // IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems. — 1997. — Т. 8, вип. 7. — С. 673–680. — DOI:10.1109/71.598343.
  • Sandi Klavžar. On median nature and enumerative properties of Fibonacci-like cubes // Discrete Mathematics. — 2005. — Т. 299, вип. 1–3. — С. 145–153. — DOI:10.1016/j.disc.2004.02.023.
  • Sandi Klavžar. Structure of Fibonacci cubes: a survey // IMFM Preprint Series. — Ljubljana, Slovenia : Institute of Mathematics, Physics and Mechanics, 2011. — Т. 49, вип. 1150.
  • Sandi Klavžar, Petra Žigert. Fibonacci cubes are the resonance graphs of Fibonaccenes : [арх. 8 лютого 2007] // Fibonacci Quarterly. — 2005. — Т. 43, вип. 3. — С. 269–276..
  • Emanuele Munarini, Norma Zagaglia Salvi. Structural and enumerative properties of the Fibonacci cubes // Discrete Mathematics. — 2002. — Т. 255, вип. 1–3. — С. 317–324. — DOI:10.1016/S0012-365X(01)00407-1.
  • James Propp. Generating random elements of finite distributive lattices // Electronic Journal of Combinatorics. — 1997. — Т. 4, вип. 2. — С. R15. — arXiv:math.CO/9801066.
  • Rodolfo Salvi, Norma Zagaglia Salvi. Alternating unimodal sequences of Whitney numbers // Ars Combinatoria[en]. — 2008. — Т. 87. — С. 105–117.
  • Richard P. Stanley. Enumerative Combinatorics. — Wadsworth, Inc., 1986. Упражнение 3.23a, страница 157
  • Ivan Stojmenovic. Optimal deadlock-free routing and broadcasting on Fibonacci cube networks : [арх. 25 липня 2011] // Utilitas Mathematica. — 1998. — Т. 53. — С. 159–166..
  • Taranenko A., Vesel A. Fast recognition of Fibonacci cubes // Algorithmica. — 2007. — Т. 49, вип. 2. — С. 81–93. — DOI:10.1007/s00453-007-9026-5.
  • Jie Wu. Extended Fibonacci cubes // IEEE Transactions on Parallel and Distributed Systems. — 1997. — Т. 8, вип. 12. — С. 1203–1210. — DOI:10.1109/71.640012.
  • Heping Zhang, Lifeng Ou, Haiyuan Yao. Fibonacci-like cubes as Z-transformation graphs // Discrete Mathematics. — 2009. — Т. 309, вип. 6. — С. 1284–1293. — DOI:10.1016/j.disc.2008.01.053.
Отримано з https://uk.wikipedia.org/w/index.php?title=Куб_Фібоначчі&oldid=36847948