Користувач:Jarozwj/Інкубатор/Статті/Інтегральний синус

Графік функції Si(x) для 0 ≤ x ≤ 8 π.

Інтегра́льний си́нус — спеціальна функція, що визначається як інтеграл:

$\operatorname {Si} \,x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt.$

Іноді також користуються позначенням $\operatorname {si} \,x:$

$\operatorname {si} \,x=-\int \limits _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt=\operatorname {Si} \,x-{\frac {\pi }{2}}.$

Інтегральний синус може бути визначені через інтегральну показникову функцію по аналогії з синусом:

$\operatorname {si} \,x={\frac {1}{2i}}\left(\operatorname {Ei} \,(ix)-\operatorname {Ei} \,(-ix)\right).$

Інтегральний синус було введено Лоренцо Маскероні в 1790 році.

Властивості

• Інтегральний синус — непарна функція:

$\operatorname {Si} \,(-x)=-\,\operatorname {Si} \,x.$

• Інтегральний синус має асимптоти:

$\lim _{x\to +\infty }\operatorname {Si} \,x={\frac {\pi }{2}},$

$\lim _{x\to +\infty }\operatorname {si} \,x=0,$

$\lim _{x\to -\infty }\operatorname {Si} \,x=-{\frac {\pi }{2}},$

$\lim _{x\to -\infty }\operatorname {si} \,x=-\pi .$

• Інтегральний синус має локальні екстремуми в точках $x=\pm \pi ,\,\pm 2\pi ,\,\pm 3\pi ,\,\cdots \,$

Розклад у ряд

$\operatorname {Si} \,x=x-{\frac {x^{3}}{3\cdot 3!}}+{\frac {x^{5}}{5\cdot 5!}}-{\frac {x^{7}}{7\cdot 7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!(2n+1)}}x^{2n+1}.$

Цей ряд використовується для практичного обчислення інтегрального синуса, причому у відповідності до теоремою Лейбніца похибка буде менша, ніж модуль останнього взятого члена цього ряду.

Див. також

• Інтегральний косинус
• Інтегральний логарифм
• Інтегральна показникова функція

Джерела

• Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов. — М. : Мир, 1985. — Т. 2. — С. 606.