Відкрити головне меню

Формальне визначенняРедагувати

Алгоритмом з поліноміальним часом називається такий алгоритм, час роботи якого (тобто, кількість елементарних двійкових операцій, необхідних для його виконання на детермінованій машині Тюринга) на вхідному рядку довжиною   обмежено згори деяким поліномом  .[1]

Задачі, що можна розв'язати алгоритмом з поліноміальним часом належать до класу задач складності P.

Машини ТюрингаРедагувати

Докладніше: Машина Тюринга

Машина Тюринга   має часову складність (або час роботи)  , якщо для довільного входу   довжини  , не залежно від результату машина   зупиниться після виконання щонайбільше   кроків.

Деяка мова   належить до класу складності P, якщо існує поліноміальне   таке, що мова   розпізнається деякою детермінованою машиною Тюринга   ( ) з часовою складністю  .[2]

Практичне значенняРедагувати

Оскільки часто доводиться обчислювати значення функцій на вхідних даних великого обсягу, знаходження поліноміальних алгоритмів для обчислення функцій є дуже важливим завданням. Вважається, що обчислювати функції, які не лежать у класі  , помітно складніше, ніж лежать. Більшість алгоритмів, що лежать в класі  , мають складність, яка не перевершує многочлен в невеликій мірі від розміру вхідних даних.

Вужче визначенняРедагувати

Іноді під класом P мають на увазі вужчий клас функцій, а саме клас предикатів (функцій  ). Тоді мова  , що розпізнає даний предикат, називається множиною слів, де предикат дорівнює 1. Мовами класу P називаються мови, для яких існують розпізнавальні їх предикати класу P. Очевидно, якщо мови  і   лежать у класі P, то і їх об'єднання, перетин та доповнення також лежать в класі P[джерело?].

Включення класу P в інші класиРедагувати

Клас P є одним з найвужчих класів складності. Алгоритми, що належать йому, належать також класу NP, класу BPP[ru] (як допускають поліноміальну реалізацію з нульовою помилкою), класу PSPACE (т. к. зона роботи на машині Тюрінга завжди менше часу), класу P/Poly (для доказу цього факту використовується поняття протоколу роботи машини, який переробляється в булеву схему поліноміального розміру)[джерело?].

Вже більше 30 років залишається невирішеною задача про рівність класів P і NP. Якщо вони рівні, то будь-яке завдання з класу NP можна буде вирішити швидко (за поліноміальний час). Однак наукове товариство схиляється в бік негативної відповіді на це питання. Крім того, не доведено і строгість включення до ширших класів, наприклад, в PSPACE, але рівність P і PSPACE виглядає нині дуже сумнівно.

ПрикладиРедагувати

  • Стандартний алгоритм множення матриць вимагає n3 операцій множення (хоча існують більш швидкі алгоритми, які теж мають поліноміальну швидкість, як, наприклад, алгоритм Штрассена).
  • Степінь многочлена рідко буває великим. Один з таких випадків — запропонований в 2002 індійськими математиками тест Агравала — Каяла — Сакса, який з'ясовує, чи є число n простим, за O(log6n) операцій.

Завдання, приналежність яких класу P невідомаРедагувати

Існує багато задач, для яких не знайдено поліноміального алгоритму, але не доведено, що його не існує. Відповідно, невідомо, належать такі завдання класу  . Ось деякі з них:

ПриміткиРедагувати

  1. Рейнгольд, Нивергельт Ю., Део Н. (1980). Комбинаторные Алгоритмы (рос.). Москва: Мир. с. 442—443. 
  2. John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman (2001). Introduction to Automata Theory, Languages and Computation (англ.) (вид. 2-ге). Addison-Wesley. ISBN 0-201-44124-1. 

Дивіться такожРедагувати