Квазірегулярний елемент

У теорії кілець квазірегулярним елементом називається елемент кільця для якого існує так званий квазіобернений елемент. Поняття квазірегулярних елементів зокрема використовуються в означенні радикала Джекобсона. Особливо важливі вони у теорії кілець без одиниці.

ОзначенняРедагувати

Елемент x кільця (можливо без мультиплікативної одиниці) називається правим квазірегулярним якщо існує елемент y для якого  . Елемент x називається лівим квазірегулярним якщо існує елемент y для якого  . Елемент y у першому випадку називається правим квазіоберненим, а у другому лівим квазіоберненим до x.

Якщо елемент є і правим і лівим квазірегулярним він називається квазірегулярним елементом.

Якщо в кільці є одиниця, то x є правим квазірегулярним тоді і тільки тоді, коли для елемента 1 - x існує правий обернений. Аналогічно для лівих квазірегулярних елементів.

Справді, нехай x є правим квазірегулярним і  . Тоді   і елемент 1 - y є правим оберненим до 1 - x.
Навпаки, якщо   то   і 1 - z є правим квазіоберненим елементом для x.

Якщо ввести операцію  , то   є асоціативною і відображення   є ізоморфізмом моноїдів. Тому, якщо для елемента існують праві і ліві квазіобернені то вони є рівними. Дійсно, оскільки 0 є мультиплікативною одиницею, якщо  , то  .

Іноді також елемент x називається правим квазірегулярним якщо існує y для якого  , що у випадку кілець з одиницею є еквівалентним існуванню правого оберненого елемента для 1 + x.

ПрикладиРедагувати

  • Якщо R є кільцем, то 0 (адитивний нейтральний елемент) є квазірегулярним елементом.
  • Якщо   є правим (лівим) квазірегулярним елементом, то   є правим (лівим) квазірегулярним елементом.
Якщо   то   і   є правим квазіоберненим до елемента  .
Якщо  , то   є правим і лівим квазіоберненим елементом для x.
  • Матриця є квазірегулярним елементом кільця матриць тоді і тільки тоді, коли 1 не є власним значенням для даної матриці.
  • Якщо R є кільцем і S = R[[X1, ..., Xn]] — кільце формальних степеневих рядів від n змінних над R, то елемент кільця S є квазірегулярним якщо і тільки якщо його вільний член є квазірегулярним елементом кільця R.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати