Категорія коми

У теорії категорій, категорія коми — спеціальна конструкція, що надає спосіб вивчення морфізмів не як співвіднесення об'єктів категорії один з одним, а як самостійних об'єктів. Назва «категорія коми» з'явилася через початкове (введене Ловером^[en]) позначення, яке включало знак коми. Згодом стандартне позначення змінилося з міркувань зручності.

Визначення

Загальний випадок

Нехай ${\mathcal {A}},{\mathcal {B}}$ і ${\mathcal {C}}$ — категорії, а $S$ і $T$ — функтори

{\mathcal {A}}{\xrightarrow {\;\;S\;\;}}{\mathcal {C}}{\xleftarrow {\;\;T\;\;}}{\mathcal {B}}

Категорію коми $(S\downarrow T)$ можна побудувати так:

Об'єкти — всі трійки вигляду $(\alpha ,\beta ,f)$ , де $\alpha$ — об'єкт ${\mathcal {A}}$ , $\beta$ — Об'єкт ${\mathcal {B}}$ , і $f:S(\alpha )\rightarrow T(\beta )$ — морфізм у ${\mathcal {C}}$ .
Морфізм з $(\alpha ,\beta ,f)$ в $(\alpha ',\beta ',f')$ — всі пари $(g,h)$ , де $g:\alpha \rightarrow \alpha '$ , $h:\beta \rightarrow \beta '$ — морфізми в ${\mathcal {A}}$ і ${\mathcal {B}}$ відповідно, такі, що комутує така діаграма:

${\begin{matrix}S(\alpha )&{\xrightarrow {S(g)}}&S(\alpha ')\\f{\Bigg \downarrow }&&{\Bigg \downarrow }f'\\T(\beta )&{\xrightarrow[{T(h)}]{}}&T(\beta ')\end{matrix}}$

Якщо останній вираз визначено, композиція морфізмів $(g,h)\circ (g',h')$ береться як $(g\circ g',h\circ h')$ . Тотожний морфізм об'єкта $(\alpha ,\beta ,f)$ — це $(\mathrm {id} _{\alpha },\mathrm {id} _{\beta })$ .

Два часткових випадки

Розглянемо два часткових випадки, які простіші й трапляються дуже часто.

Перший випадок — категорія об'єктів над $A$ . Нехай у попередньому визначенні ${\mathcal {A}}={\mathcal {C}}$ , $S$ — тотожний функтор і ${\mathcal {B}}={\textbf {1}}$ (категорія з одним об'єктом $*$ та одним морфізмом). Тоді $T(*)=A$ для деякого об'єкта $A$ категорії ${\mathcal {C}}$ . У цьому випадку використовують позначення $({\mathcal {C}}\downarrow A)$ . Об'єкти вигляду $(\alpha ,*,f)$ — це просто пари $(\alpha ,f)$ , де $f:\alpha \rightarrow A$ . Іноді в цій ситуації $f$ позначають як $\pi _{\alpha }$ . Морфізм з $(B,\pi _{B})$ в $(B',\pi _{B'})$ — це морфізм $g:B\rightarrow B'$ , що замикає до комутативної таку діаграму:

Двоїстий випадок — категорія об'єктів під $A$ . Тут $S$ — функтор з 1 і $T$ — тотожний функтор. У цьому випадку використовують позначення $(A\downarrow {\mathcal {C}})$ , де $A$ — об'єкт ${\mathcal {C}}$ , в який відображає $S$ . Об'єкти — пари $(B,i_{B})$ , де $i_{B}:A\rightarrow B$ . Морфізм між $(B,i_{B})$ і $(B',i_{B'})$ — відображення $h:B\rightarrow B'$ , що замикає до комутативної таку діаграму:

Категорія стрілок

Ще один частковий випадок — коли $S$ і $T$ — тотожні функтори в ${\mathcal {C}}$ (так що ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\mathcal {C}}$ ). У цьому випадку категорію коми називають категорією стрілок ${\mathcal {C}}^{\rightarrow }$ . Її об'єкти — морфізми ${\mathcal {C}}$ , а її морфізми — комутативні квадрати в ${\mathcal {C}}$ ^[1].

Властивості

Для будь-якої категорії стрілок визначено два забутливі функтори з неї:

Функтор прообразу $S\downarrow T\to {\mathcal {A}}$ , який відображає:
- об'єкти: $(\alpha ,\beta ,f)\mapsto \alpha$ ;
- морфізми: $(g,h)\mapsto g$ ;
Функтор образу, $S\downarrow T\to {\mathcal {B}}$ , який відображає:
- об'єкти: $(\alpha ,\beta ,f)\mapsto \beta$ ;
- морфізми: $(g,h)\mapsto h$ .

Приклади

Категорія множин із відміченою точкою — це категорія коми $(\bullet \downarrow \mathbf {Set} )$ , де $\bullet$ — функтор, що вибирає деякий синґлетон, і $\mathbf {Set}$ — Тотожний функтор у категорії множин. У подібний спосіб можна утворити категорію топологічних просторів із зазначеною точкою $(\bullet \downarrow \mathbf {Top} )$ .
Категорія графів — це категорія коми $(\mathbf {Set} \downarrow D)$ , де $D:\mathbf {Set} \rightarrow \mathbf {Set}$ — функтор, що відправляє $s$ в $s\times s$ . Об'єкти вигляду $(a,b,f)$ складаються з двох множин та функції; $a$ — індексує множину для ребер, $b$ — множину вершин, тоді $f:a\rightarrow (b\times b)$ вибирає пару елементів $b$ для кожного $a$ , тобто $f$ вибирає певне ребро зі множини можливих ребер $b\times b$ . Морфізми в цій категорії — функції індексувальній множині і множині вершин, такі, що образи вершин, які відповідали даному ребру, відповідатимуть його образу.

Спряження

Функтори $F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}$ і $G:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ спряжені тоді й лише тоді, коли категорії коми $(F\downarrow id_{\mathcal {D}})$ і $(id_{\mathcal {C}}\downarrow G)$ ізоморфні, причому еквівалентні елементи проєктуються на той самий елемент ${\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}$ . Це дозволяє описати сполучені функтори, не використовуючи множини, і це було головною причиною появи конструкції категорій коми.

Природні перетворення

Якщо образи $S,T$ збігаються, то діаграма, що визначає морфізм у $S\downarrow T$ з $\alpha =\beta ,\alpha '=\beta ',g=h$ збігається з діаграмою, що визначає натуральне перетворення $S\to T$ . Відмінність між двома визначеннями полягає в тому, що натуральне перетворення — це певний клас морфізмів вигляду $S(\alpha )\to T(\alpha )$ , тоді як об'єкти категорії коми — це все морфізми такого вигляду. Функтор у категорію коми може вибрати конкретне сімейство морфізмів. І справді, натуральному перетворенню $\eta :S\to T$ , де $S,T:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}}$ відповідає функтор ${\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)$ , який відображає об'єкт $\alpha$ в $(\alpha ,\alpha ,\eta _{\alpha })$ і морфізми $g$ в $(g,g)$ . Це задає бієкцію між природними перетвореннями $S\to T$ та функторами ${\mathcal {A}}\to (S\downarrow T)$ , які є лівими оберненими обох забутливих функторів з $S\downarrow T$ .