Задача про голку

Задача про голку полягає у визначенні найменшої площі фігури на площині, в якій одиничний відрізок, «голку», можна розвернути на 180 градусів, повернувши його у початкове положення з оберненою орієнтацією. Це можна зробити в колі радіуса 1/2. Інший приклад — наведена на малюнку фігура, обмежена дельтоїдою, яка має меншу площу.

Розворот голки всередині дельтоїди

Виявляється, що можна побудувати фігуру з довільно малою площею.

Історія

Це питання розглядав Какея. Він довів, що для опуклих областей найменша площа досягається для рівностороннього трикутника з висотою 1. Його площа дорівнює $1/{\sqrt {3}}$.

Можливо, Какея також висунув гіпотезу, що фігура, обмежена дельтоїдою, наведена на малюнку, має найменшу площу. Це твердження спростував Безикович.

Множина Безиковича

Безикович побудував компактну множину $K$ нульової міри, що містить одиничний відрізок у будь-якому напрямку.

Звідси легко випливає, що голку можна розвернути у фігурі довільно малої площі. Дійсно, легко бачити, що одиничне коло можна розбити на сектори і лише паралельними переносами помістити в довільно малий окіл множини $K$.

Зауважимо, що одиничний відрізок можна пересунути на паралельну пряму у фігурі довільно малої площі. Тому, повернувши відрізок в одному секторі, його можна перетягнути в наступний, пройшовши множиною довільно малої площі; повторивши цю операцію кілька разів, отримаємо необхідний розворот.

Варіації та узагальнення

• У побудові Безіковіча при прямуванні площі фігури до нуля її діаметр прямує до нескінченності. 1941 року Г. Дж. Ван Альфен показав, що голку можна розвернути у фігурі як завгодно малої площі, розташованої всередині кола з радіусом $2+\varepsilon$ (для довільного $\varepsilon >0$).

• Існують однозв'язні множини, в яких можна розвернути голку, з площею меншою, ніж у фігури, обмеженою дельтоїдою.
  • Такі приклади знайдено 1965 року. Мелвін Блум та І. Ю. Шенберг показали, що їхню площу можна зробити довільно близькою до ${\tfrac {\pi }{24}}(5-2{\sqrt {2}})$.
  • 1971 року Каннінгем показав, що для будь-якого $\varepsilon >0$ існує підхожа однозв'язна фігура з площею менше ${\tfrac {\pi }{108}}+\varepsilon$, що міститься в колі радіуса 1.

• Визначимо множину Безиковича в Rⁿ як множину нульової міри, що містить одиничний відрізок у будь-якому напрямку (таку множину також називають множиною Какеї). Так звана гіпотеза Какеї стверджує, що множини Безиковича мають розмірність n (за Гаусдорфом і за Мінковським), тобто рівну розмірності простору, який їх містить.
  • Гіпотеза Какеї істинна в розмірності 1 і 2.
  • Вольф показав, що в n-вимірному просторі розмірність множини Безиковича має бути принаймні (n +2)/2.
  • 2002 року Кац і Тао покращили оцінку Вольфа, показавши, що розмірність не може бути меншою, ніж $(2-{\sqrt {2}})(n-4)+3$. Ця оцінка краща для n > 4.

• Визначимо (n, k)-множину Безиковича як компактну множину в Rⁿ нульової міри, що містить у кожному k-вимірному напрямку k-вимірний одиничний диск.

  Гіпотеза про (n, k)-множини Безиковича: (n, k)-множин Безиковича не існує при k >1.

  • 1979 року Марстранд довів, що не існує (3, 2)-множини Безиковича.
  • Приблизно тоді ж, Фолкнер довів, що немає (n, k)-множин для 2 k > n.
  • Найкраща оцінка нині належить Бургену, який довів, що множин, які мають 2^k-1 + k > n, немає.

• У 1997 і 1999 роках Вольф довів, що множини, що містять сферу будь-якого радіуса, повинні мати повну розмірність, тобто розмірність простору, який їх містить.

• Еліас Штайн довів, що будь-яка множина, що містить сферу навколо кожної точки, повинна мати додатну міру при n ≥ 3, і Марстранд довів те саме для випадку n = 2.

• 1999 року Вольф сформулював аналог задачі про голку для скінченних полів. Нехай F скінченне поле. Множину K ⊆ Fⁿ називають множиною Безиковича, якщо для кожного вектора y ∈ Fⁿ існує такий x ∈ Fⁿ, що K містить усі вектори вигляду {x + ty : t ∈ F}.

• Задача про голку в просторі над скінченним полем: Число елементів K не менше, ніж c_n|F|ⁿ де c_n > 0 — стала, яка залежить тільки від n.
• Двір довів цю гіпотезу для c_n = 1/n!, скориставшись таким аргументом. Він зазначив, що будь-який многочлен із n змінними степеня менш ніж |F|, який дорівнює нулю на множині Безиковича, має бути тотожно рівним нулю. З іншого боку, многочлени з n змінними степеня менш ніж |F| утворюють векторний простір розмірності

${|\mathbf {F} |+n-1 \choose n}\geqslant {\frac {|\mathbf {F} |^{n}}{n!}}.$

Отже, існує хоча б один нетривіальний многочлен степеня меншого, ніж |F|, який дорівнює нулю на довільній множині з меншою кількістю точок. Звідси множина Безиковича повинна мати хоча б |F|ⁿ/n! точок. Про цю задачу Двір написав оглядову статтю.

Застосування

• 1971 року Фефферман використав побудову множини Безиковича, щоб показати, що в розмірності більшій, ніж 1, зрізані^{[уточнити]} інтеграли Фур'є, взяті за кулями з центром у початку координат із радіусами, що прямують до нескінченності, можуть не збігатися за нормою L^p при р ≠ 2 (на відміну від одновимірного випадку, де такі зрізані інтеграли збігаються).

Див. також

• Дельтоїда
• Задача Лебега
• Множина Нікодима

Література

• Яглом И. М., Болтянский В. Г. Выпуклые фигуры. — М.-Л. : ГТТИ, 1951. — 343 с. — (Библиотека математического кружка, вып. 4)
• Besicovitch Abram (1963). «The Kakeya Problem». American Mathematical Monthly 70 (7): 697—706. doi : 10.2307/2312249. JSTOR 2312249. MR 0157266.
• Dvir, Zeev (2009). «On the size of Kakeya sets in finite fields». Journal of the American Mathematical Society 22 (4): 1093—1097. arXiv: 0803.2336. doi:10.1090/S0894-0347-08-00607-3. MR 2525780.
• Falconer, Kenneth J. (1985). The Geometry of Fractal Sets. Cambridge Tracts in Mathematics 85. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-25694-1. MR 0867284.
• Kakeya, Soichi (1917). «Some problems on maximum and minimum regarding ovals». Tohoku science reports 6: 71-88.
• Katz, Nets Hawk; Łaba, Izabella; Tao, Terence (2000). «An improved bound on the Minkowski dimension of Besicovitch sets in $\mathbf {R} ^{3}$» (PDF). Annals of Mathematics 152 (2): 383—446. doi:10.2307/2661389. JSTOR 2661389. MR 1804528.
• Wolff, Thomas (1999). «Recent work connected with the Kakeya problem». In Rossi, Hugo. Prospects in Mathematics: Invited Talks on the Occasion of the 250th Anniversary of Princeton University. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. 129—162. ISBN 978-0-8218-0975-4. MR 1660476.
• Wolff, Thomas (2003). Łaba, Izabella; Shubin, Carol, eds. Lectures on Harmonic Analysis. University Lecture Series 29. With a foreword by Charles Fefferman and preface by Izabella Łaba. Providence, RI: American Mathematical Society. doi:10.1090/ulect/029. ISBN 0-8218-3449-5. MR 2003254.
• The Kakeya problem, and connections to harmonic analysis at University of British Columbia.
• Besicovitch at UCLA
• Kakeya needle problem at mathworld
• An Introduction to Besicovitch-Kakeya Sets