Задача Ситникова

Задача Ситникова — варіант задачи трьох тіл, названий на честь радянського математика Кирила Олександровича Ситникова, що стосується руху трьох тіл під впливом взаємного гравітаційного тяжіння. Окремий випадок завдання Ситникова розглянув у 1911 році американський учений Вільям МакМіллан, але в сучасному сенсі задача була досліджена Ситниковим у 1961 році.

Конфігурація тіл у задачі Ситникова

Визначення

Система складається з двох головних тіл із однаковою масою $\left(m_{1}=m_{2}={\tfrac {m}{2}}\right)$, що рухаються по круговій або еліптичній кеплеровій орбіті навколо загального центру мас. Третє тіло значно менше головних тіл, його масу можна вважати нульовою $(m_{3}=0)$, воно рухається під дією головних тіл по осі z, перпендикулярній площині орбіти головних тіл. Початок координат системи знаходиться у центрі мас. Сумарна маса головних тіл $m=1$, орбітальний період дорівнює $2\pi$, велика піввісь орбіти головних тіл $a=1$ . Гравітаційна стала у вибраній системі одиниць дорівнює 1.

Рівняння руху

Для отримання рівнянь руху у разі кругових орбіт головних тіл використовуємо вираз для повної енергії $\,E$:

$E={\frac {1}{2}}\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}-{\frac {1}{r}}.$

Після диференціювання за часом рівняння має вигляд

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=-{\frac {z}{r^{3}}}.$

Також справедлива рівність

$r^{2}=a^{2}+z^{2}=1+z^{2}.$

Отже, рівняння руху представимо у вигляді

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=-{\frac {z}{\left({\sqrt {1+z^{2}}}\right)^{3}}},$

який визначає точно розв'язувану систему, оскільки вона має лише один ступінь свободи і допускає інтеграл руху - енергію.

Якщо ж головні тіла рухаються еліптичними орбітами, то рівняння руху має вигляд

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=-{\frac {z}{\left({\sqrt {\rho (t)^{2}+z^{2}}}\right)^{3}}},$

де $\rho (t)=\rho (t+2\pi )$ - відстань від головного тіла до загального центру мас. У такому випадку система є хаотичною.

Значення

Хоча майже неможливо в реальності виявити або створити таку систему трьох небесних тіл, яка розглядається в задачі Ситникова, все ж таки задача має важливе значення, бо дозволяє дослідити різні характеристики хаотичних систем.

Література

• KA Sitnikov: The existence of oscillatory motions in the three-body problems. In: Doklady Akademii Nauk SSSR, 133/1960, pp. 303–306, ISSN 0002-3264 (English Translation in Soviet Physics. Doklady., 5/1960, S. 647-650)
• K. Wodnar: The original Sitnikov article - new insights. In: Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 56/1993, pp. 99-101, ISSN 0923-2958, pdf
• D. Hevia, F. Rañada: Chaos в три-body питання: Sitnikov case . In: European Journal of Physics, 17/1996, pp. 295-302, ISSN 0143-0807, pdf
• Rudolf Dvorak, Florian Freistetter, J. Kurths, Chaos and Stability in Planetary Systems., Springer, 2005, ISBN 3540282084
• J. Moser: "Stable and Random Motion", Princeton Univ. Press, 1973, ISBN 978-0691089102
• R. Dvorak, C. Lhotka, "Sitnikov problem", Scholarpedia