Ентропія Цалліса

У статистичній термодинаміці ентропія Цалліса — узагальнення стандартної ентропії Больцмана — Гіббса, запропоноване Константіно Цаллісом (Constantino Tsallis) 1988 року для випадку неекстенсивних (неадитивних) систем. Його гіпотеза базується на припущенні, що сильна взаємодія в термодинамічно аномальній системі призводить до нових ступенів вільності, до зовсім іншої статистичної фізики небольцманівського типу.

Визначення та основні відомості

Нехай $P$ — розподіл імовірностей і $\mu$ — будь-яка міра на $X$, для якої існує абсолютно неперервна відносно $\mu$ функція $p={\frac {dP}{d\mu }}$. Тоді ентропія Цалліса визначається як

$S_{q}(P)={k \over q-1}\left(1-\int \limits _{X}^{}{p^{q}}d\mu \right).$

Зокрема, для дискретної системи, що перебуває в одному з $N$ доступних станів з розподілом імовірностей $P=\{p_{i}\,|\,i=1,2,...,N\}$ ,

$S_{q}(P)={k \over q-1}\left(1-\sum _{i=1}^{N}p_{i}^{q}\right)$.

У разі міри Лебега $\mu =x$, тобто коли $P$ — неперервний розподіл з густиною $p(x)$, заданою на множині $X$,

$S_{q}(P)={k \over q-1}\left(1-\int \limits _{X}^{}{p^{q}(x)}dx\right)$.

У цих формулах $k$ — деяка додатна константа, яка визначає одиницю вимірювання ентропії й у фізичних формулах служить для зв'язки розмірностей, як, наприклад, стала Больцмана. З точки зору задачі оптимізації ентропії ця константа є несуттєвою, тому для спрощення часто вважають $k=1$.

Параметр $q$ — безрозмірна величина ($q\in R$), яка характеризує ступінь неекстенсивності (неадитивності) даної системи. У границі при $q\to 1$, ентропія Цалліса збігається до ентропії Больцмана — Гіббса. При $q>0$ ентропія Цалліса є увігнутим функціоналом від розподілу ймовірностей і, як звичайна ентропія, досягає максимуму за рівномірного розподілу. При $q<0$ функціонал є опуклим і за рівномірного розподілу досягає мінімуму. Тому для пошуку рівноважного стану ізольованої системи при $q>0$ ентропію Цалліса потрібно максимізувати, а при $q<0$ — мінімізувати. Значення параметра $q=0$ — це вироджений випадок ентропії Цалліса, коли вона не залежить від $P$, а залежить лише від $\mu (X)$, тобто від розміру системи (від $N$ у дискретному випадку).

У безперервному випадку іноді вимагають, щоб носій випадкової величини $X$ був безрозмірним. Це забезпечує коректність функціоналу ентропії з точки зору розмірності.

Історично першими вираз для ентропії Цалліса (точніше, для часткового її випадку при $k={q-1 \over 1-2^{1-q}}$) отримали Дж. Хаврда і Ф. Чарват (J. Havrda і F. Charvát) 1967 року. Разом з тим, при $q>0$ ентропія Цалліса є частковим випадком f-ентропії (при $q<0$ f-ентропією є величина, протилежна ентропії Цалліса).

Деякі співвідношення

Ентропію Цалліса можна отримати зі стандартної формули для ентропії Больцмана — Гіббса заміною використовуваної в ній функції $\ln x$ функцією

$\ln _{q}x={x^{q-1}-1 \over q-1}$

— так званий q-деформований логарифм або просто q-логарифм (у границі при $q\to 1$ збігається з логарифмом). К. Цалліс використовував дещо іншу формулу q-логарифма, яка зводиться до наведеної тут заміною параметра $q$ на $2-q$.

Ще один спосіб отримати ентропію Цалліса ґрунтується на співвідношенні, справедливому для ентропії Больцмана — Гіббса:

$S(P)=-k\lim _{t\rightarrow 1}{\frac {d}{dt}}\sum _{i=1}^{N}p_{i}^{t}$.

Неважко бачити, що якщо замінити в цьому виразі звичайну похідну на q-похідну (відому також як похідна Джексона), виходить ентропія Цалліса:

$S_{q}(P)=-k\lim _{t\rightarrow 1}\,\left({\frac {d}{dt}}\right)_{q}\sum _{i=1}^{N}p_{i}^{t}$.

Аналогічно для неперервного випадку:

$S_{q}(P)=-k\lim _{t\rightarrow 1}\,\left({\frac {d}{dt}}\right)_{q}\int \limits _{X}^{}{p^{t}(x)}dx$.

Неекстенсивність (неадитивність)

Нехай є дві незалежні системи $A$ і $B$, тобто такі системи, що в дискретному випадку спільна ймовірність появи двох будь-яких станів $a\in A$ і $b\in B$ в цих системах дорівнює добутку відповідних імовірностей:

$\operatorname {Prob} (a,b)=\operatorname {Prob} (a)\operatorname {Prob} (b)$,

а в неперервному — спільна густина розподілу ймовірностей дорівнює добутку відповідних густин:

$p_{AB}(x,y)=p_{A}(x)p_{B}(y)$ ,

де $x\in X$, $y\in Y$ — області значень випадкової величини в системах $A$ і $B$ відповідно.

На відміну від ентропії Больцмана — Гіббса і ентропії Реньї, ентропія Цалліса, загалом, не володіє адитивністю, і для сукупності систем виконується

$S_{q}(AB)=S_{q}(A)+S_{q}(B)+{1-q \over k}S_{q}(A)S_{q}(B)$.

Оскільки умова адитивності для ентропії має вигляд

$S(AB)=S(A)+S(B)$ ,

відхилення параметра $q$ від $1$ характеризує неекстенсивність (неадитивність) системи. Ентропія Цалліса є екстенсивною тільки при $q=1$.

Дивергенція Цалліса

Поряд з ентропією Цалліса, розглядають також сімейство несиметричних мір розбіжності (дивергенції) Цалліса між розподілами ймовірностей зі спільним носієм. Для двох дискретних розподілів з імовірністю $A=\{a_{i}\}$ і $B=\{b_{i}\}$, $i=1,2,...,N$, дивергенція Цалліса визначається як

$D_{q}(A,B)={k \over q-1}\left(\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{q}b_{i}^{1-q}-1\right)$.

У неперервному випадку, якщо розподіли $A$ і $B$ задані густинами $a(x)$ і $b(x)$ відповідно, де $x\in X$ ,

$D_{q}(A,B)={k \over q-1}\left(\int \limits _{X}^{}{a^{q}(x)b^{1-q}(x)}dx-1\right)$.

На відміну від ентропії Цалліса, дивергенція Цалліса визначена при $q>0$. Несуттєва додатна константа $k$ в цих формулах, як і для ентропії, задає одиницю виміру дивергенції і часто опускається (покладається рівною $1$). Дивергенція Цалліса є окремим випадком α-дивергенції (з точністю до несуттєвої константи) і, як α-дивергенція, є опуклою за обома аргументами за всіх $q>0$. Дивергенція Цалліса також є окремим випадком f-дивергенції.

Дивергенці. Цалліса можна отримати з формули для дивергенції Кульбака — Лейблера підстановкою в неї q-деформованого логарифма, визначеного вище, замість функції $\ln x$. У границі при $q\to 1$ дивергенція Цалліса сходиться до дивергенції Кульбака — Лейблера.

Зв'язок формалізмів Реньї та Цалліса

Ентропія Реньї та ентропія Цалліса еквівалентні з точністю до монотонного перетворення, що не залежить від розподілу станів системи. Те саме стосується відповідних дивергенцій. Розглянемо, наприклад, ентропію Реньї для системи $P$ з дискретним набором станів $\{p_{i}|i=1,2,...,N\}$:

${\widetilde {S}}_{q}(P)={{\widetilde {k}} \over 1-q}\ln \sum _{i=1}^{N}p_{i}^{q}$, $q\geq 0$.

Дивергенція Реньї для дискретних розподілів з імовірністю $A=\{a_{i}\}$ і $B=\{b_{i}\}$, $i=1,2,...,N$:

${\widetilde {D}}_{q}(A,B)={{\widetilde {k}} \over q-1}\ln \sum _{i=1}^{N}a_{i}^{q}b_{i}^{1-q}$, $q>0$.

У цих формулах додатна константа ${\widetilde {k}}$ має таке саме значення, як і $k$ у формалізмі Цалліса.

Легко бачити, що

$S_{q}(P)=T_{2-q}({\widetilde {S}}_{q}(P))$ ,

$D_{q}(A,B)=T_{q}({\widetilde {D}}_{q}(A,B))$ ,

де функція

$T_{q}(x)=k{\exp(x(q-1)/{\widetilde {k}})-1 \over q-1}$

визначена на всій числовій осі і неперервно зростає за $x$ (при $q=1$ вважаємо $T_{q}(x)={k \over {\widetilde {k}}}x$). Наведені співвідношення мають місце і в неперервному випадку.

Попри наявність зв'язку з цим, слід пам'ятати, що функціонали у формалізмі Реньї та Цалліса мають різні властивості:

• ентропія Цалліса, загалом, не адитивна, тоді як ентропія Реньї адитивна при всіх $q>0$;
• ентропія і дивергенція Цалліса є увігнутими або опуклими (крім $q=0$), тоді як ентропія і дивергенція Реньї, загалом, не мають ні тієї, ні іншої властивості.