Відкрити головне меню

Спряжений простір — простір лінійних функціоналів на даному лінійному просторі.

Зміст

Лінійно-спяжений простір - означенняРедагувати

Простір всіх лінійних функціоналів на   утворює лінійний простір. Це простір називається спряженим до  , він зазвичай позначається  .

ВластивостіРедагувати

  • У скінченновимірному випадку спряжений простір   має ту ж розмірність, що і простір  .
  • Якщо простір   евклідів, тобто на ньому визначено скалярний добуток, то існує канонічний ізоморфізм між   і  .
  • Якщо простір   гільбертів, то згідно з теоремою Ріса існує ізоморфізм між   і  .
  • У скінченновимірному випадку правильно також, що простір, спряжений до спряженого  , збігається з   (точніше, існує канонічний ізоморфізм між   і  ).

ПозначенняРедагувати

У скінченновимірному випадку звичайно елементи простору   позначають вектором-стовпцем, а елементи   — вектором-рядком. У тензорному численні застосовується позначення   для елементів   (верхній, або контраваріантний індекс) і   для елементів   (нижній, або коваріантний індекс).

Варіації і узагальненняРедагувати

  • У функціональному аналізі, під спряженим простором зазвичай розуміють простір неперервних лінійних функціоналів.
  • Термін спряжений простір може мати інше значення для лінійних просторів над полем комплексних чисел: простір  , що збігається з   як дійсний лінійний простір, але з іншою структурою множення на комплексні числа:
     

ДжерелаРедагувати