Дуальний базис

В лінійній алгебрі, дуальний базис (спряжений базис) це множина векторів, що формують базис для спряженого простору векторного простору. Для векторного простору скінченної розмірності V дуальний простір V* ізоморфний до V, для будь-якої даної множини базисних векторів {e₁, …, e_n} V, існує відповідний дуальний базис {e¹,…,eⁿ} V* із співвідношенням

$\mathbf {e} ^{i}(\mathbf {e} _{j})={\begin{cases}1,&{\text{if }}i=j\\0,&{\text{if }}i\neq j{\text{.}}\end{cases}}$

Іншими словами, ми можемо записувати вектори у n-вимірному векторному просторі V як n×1 колонкові матриці та елементи дуального простору V* як 1×n рядкові матриці, що діють як лінійні функціонали за допомогою добутку матриць зліва.

Наприклад, стандартні базисні вектори R² (Декартова система координат) є наступними:

$\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\}=\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}$

і стандартні базисні вектори дуального простору R²* наступні

$\{\mathbf {e} _{1}',\mathbf {e} _{2}'\}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}\right\}{\text{.}}$

У 3-вимірному просторі для даного базису {e₁, e₂, e₃} можна знайти біортогональний (дуальний) базис за наступними формулами:

$e_{1}^{*}={\frac {\left[e_{2};e_{3}\right]}{\left(e_{1};e_{2};e_{3}\right)}},e_{2}^{*}={\frac {\left[e_{3};e_{1}\right]}{\left(e_{1};e_{2};e_{3}\right)}},e_{3}^{*}={\frac {\left[e_{1};e_{2}\right]}{\left(e_{1};e_{2};e_{3}\right)}}$

Наприклад для стандартного базису в $\mathbb {R} ^{3}$ {e₁, e₂, e₃}:

$\mathbf {i} =e_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {j} =e_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {k} =e_{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

базисні вектори дуального простору $\mathbb {R} ^{3}$* отримуються аналогічно

$\{\mathbf {e} _{1}^{*},\mathbf {e} _{2}^{*},\mathbf {e} _{3}^{*}\}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}}\right\}{\text{.}}$

Джерела

• Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. — 2025. — 248 с.(укр.)
• Березанський Ю. М., Ус Г. Ф., Шефтель З. Г. Функціональний аналіз : [укр.] = Functional Analysis, Vol. I, Kyiv : Institute of Mathematics, 2010. : [пер. з англ.] : підручник. — Л. : Видавець Чижиков І. Е., 2014. — С. 559. — (Університетська бібліотека). — ISBN 978-966-2645-12-5.