Відкрити головне меню
Гамільтонів цикл у додекаедрі.

Гамільто́нів гра́ф — в математиці це граф, що містить гамільтонів цикл.

Гамільто́нів шля́х — шлях, що містить кожну вершину графа рівно один раз. Гамільтонів шлях, початкова і кінцева вершини якого збігаються, називається гамільтоновим циклом.

Гамільтонові шлях, цикл і граф названі на честь ірландського математика Вільяма Гамільтона, який вперше визначив ці класи, дослідивши задачу «навколосвітньої подорожі» по додекаедру, вузлові вершини якого символізували найбільші міста Землі, а ребра — дороги, що їх з'єднують.

Задачу знаходження гамільтонового циклу можна використати як основу для доведення з нульовим пізнанням.

Зміст

Умови існуванняРедагувати

Умова Дірака (1952)Редагувати

Нехай   — число вершин в даному графі; якщо степінь кожної вершини не менший, ніж  , то граф називається графом Дірака. Граф Дірака — гамільтонів.

Умова Оре (1960)Редагувати

  — число вершин у даному графі. Якщо для будь-якої пари несуміжних вершин  ,   виконано нерівність   то граф називаваєтся графом Оре (словами: сума степенів будь-яких двох несуміжних вершин не менша від загального числа вершин у графі). Граф Оре — гамільтонів.

Умова Бонді-ХваталаРедагувати

Теорема Бонді-Хватала узагальнює твердження Дірака і Оре. Спочатку визначимо замикання графа. Нехай у графа   є   вершин. Тоді замикання   однозначно будується за G додаванням для всіх несуміжних вершин   і  , у яких виконується  , нового ребра  .

Граф є гамільтоновим тоді і тільки тоді, коли його замикання — гамільтонів граф.

ПрикладиРедагувати

ДжерелаРедагувати

  • Bollobás, B. Graph Theory: An Introductory Course. New York: Springer-Verlag, 1979.
  • Chartrand, G. Introductory Graph Theory. New York: Dover, 1985.