Відкрити головне меню

Фермі́-газ, або ідеа́льний газ Фермі́ — Дірака — газ, що складається з ферміонів, частинок, які підпорядковуються статистиці Фермі—Дірака. Наприклад, електрони в металі. У першому наближенні можна вважати що потенціал, який діє на електрони в металі, є постійною величиною і завдяки сильному екрануванню позитивно зарядженими іонами можна знехтувати електростатичним відштовхуванням між електронами. Тоді електрони металу можна розглядати як ідеальний газ Фермі-Дірака.

Газ Фермі—Дірака при нульовій температуріРедагувати

Найнижча енергія класичного газу (або газу Бозе — Ейнштейна) при   дорівнює  . Тобто, при нульовій температурі всі частинки «падають» у найнижчий стан і втрачають кінетичну енергію. Проте для газу Фермі це неможливо. Принцип виключення Паулі дозволяє перебувати в одному стані тільки двом ферміонам із різними спінами. Найнижчу енергію газу   із   частинок можна отримати, шляхом розташування по дві частинки в кожен із   квантових станів із найнижчою можливою енергією. Тому енергія   такого газу при   буде відмінною від нуля.

Величину   не важко обчислити. Позначивши через   енергію електрона в найвищому квантовому стані, котрий ще заповнено при  . При нульовій температурі всі квантові стани з енергією нижче   буде зайнято, а всі квантові стани з енергією вище   будуть вільними. Тому повинно існувати точно   станів з енергією нижче або рівній  . Цієї умови достатньо для знаходження  . Оскільки об'єм є мікроскопічним, тому трансляційні стани лежать близько один до одного в імпульсному просторі, і ми можемо замінити сумування по трансляційним квантовим станам   інтегруванням по класичному фазовому просторі, поділивши попередньо на  :

 

де   число внутрішніх квантових станів, які відповідають внутрішній енергії. Число  , для електронів зі спіном 1/2. Інтегруючи останній вираз від   до значення  , визначеного як величина імпульсу найвищого заповненого при   стану з енергією  , та прирівнюючи результат до  , отримуємо із врахуванням того, що  :

 
 
 

або для електронів з  :

 

Величину  , найвищу енергію заповнених рівнів, називають енергією Фермі.

Газ Фермі—Дірака при скінченній температуріРедагувати

Для ненульових значень параметра   густину числа електронів   в енергетичному просторі знаходимо шляхом множення квантової густини станів

 

на множник  , який дає число електронів на один квантовий стан:

 

де величина   є хімічний потенціал при  , а  - хімічний потенціал при даній температурі.

Якщо проінтегрувати цю функцію по всім значенням  , то ми можемо визначити   як функцію від температури. Прирівнюючи результат, що входить до   повного числа частинок  . Звідси видно, що для   величина   є функція параметрів   та  .

Енергію можна знайти із співвідношення:

 ,

звідки видно, що тут ми зустрічаємося із задачею знаходження інтегралу типу:

 ,

в якому функція   є деяка проста та неперервна функція від  , наприклад   або  , та

 .

Слід відзначити, що для більшості металів величина   має порядок від   до   К.

Пропускаючи досить громіздкі математичні викладки, в результаті будемо мати наближене значення хімічного потенціалу:

 ,

яке виражає хімічний потенціал   через параметри   та  - хімічний потенціал при  . Тут слід відзначити, що ця залежність не є дуже сильна, наприклад для кімнатних температур перша добавка складає  , що є досить мала величина. Тому на практиці, при кімнатних температурах хімічний потенціал практично збігається з потенціалом Фермі.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • Майер Дж., Гепперт- Майер М. Статистическая механика, 2-е изд. перераб., М.:Мир, 1980.-544с.

ПосиланняРедагувати