Безумовна збіжність

В математичному аналізі, ряд $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ в банаховому просторі X називається безумовно збіжним, якщо для довільної перестановки $\sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ ряд $\sum _{n=1}^{\infty }x_{\sigma (n)}$ є збіжним.

Властивості

• Якщо ряд $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ є безумовно збіжним, то існує єдиний елемент $x\in X,$ такий що $\sum _{n=1}^{\infty }x_{\sigma (n)}=x,$ для довільної перестановки $\sigma :\mathbb {N} \to \mathbb {N} .$
• Довільний абсолютно збіжний ряд є безумовно збіжним, але обернене твердження є невірним. Проте, коли X = Rⁿ, тоді внаслідок теореми Рімана , ряд $\sum x_{n}$ є безумовно збіжним тоді і тільки тоді, коли він є абсолютно збіжним.
• Якщо $\{x_{n}\}\,$ послідовність елементів гільбертового простору H, то з безумовної збіжності ряду $\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}$ випливає $\sum _{n=1}^{\infty }\lVert x_{n}\rVert ^{2}<\infty .$

Еквівалентні визначення

Можна дати кілька еквівалентних визначень безумовної збіжності: ряд є безумовно збіжним тоді і тільки тоді коли:

• для довільної послідовності $(\varepsilon _{n})_{n=1}^{\infty }$, де $\varepsilon _{n}\in \{-1,+1\}$, ряд $\sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon _{n}x_{n}$ є збіжним.
• для довільної послідовності $(\alpha _{n})_{n=1}^{\infty }$, такої що $\sup _{n}|\alpha _{n}|<\infty$, ряд $\sum _{n=1}^{\infty }\alpha _{n}x_{n}$ є збіжним.
• для довільної послідовності $1\leq k_{1}<k_{2}<\ldots$, ряд $\sum _{n=1}^{\infty }x_{k_{n}}$ є збіжним.
• для довільного $\epsilon >0$ існує скінченна підмножина $I\subset \mathbb {N} ,$ така що $\lVert \sum _{i\in J}x_{i}\rVert \,<\epsilon$ для довільної скінченної підмножини $J\subset \mathbb {N} \setminus I$

Приклад

Нехай дано простір $l^{p}\,,$ де $1\leqslant p<\infty$ — банаховий простір числових послідовностей з нормою $\|x\|_{p}=\left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$. Розглянемо в ньому послідовність $x_{n}=(0,\ldots ,{\frac {1}{n}},0,\ldots ),$ де ненульове значення стоїть на n-му місці. Тоді ряд $\sum _{n=1}^{\infty }x_{\sigma (n)}$ є безумовно збіжним, але не є абсолютно збіжним.

Див. також

• Абсолютна збіжність
• Умовна збіжність

Посилання

• Попов Михайло. Геометрія банахових просторів^{[недоступне посилання з лютого 2019]}(укр.)
• Christopher Heil. A Basis Theory Primer [Архівовано 26 грудня 2013 у Wayback Machine.] (англ.)
• Безумовна збіжність на PlanetMath.(англ.)

Література

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва : Наука, 1964. — Т. 2. — 800 с.(рос.)
• Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)
• Knopp, Konrad (1956). Infinite Sequences and Series. Dover Publications. ISBN 978-0486601533.
• Knopp, Konrad (1990). Theory and Application of Infinite Series. Dover Publications. ISBN 978-0486661650.
• P. Wojtaszczyk (1996). Banach Spaces for Analysts. Cambridge University Press . ISBN 978-0521566759 .