Адитивна теорія чисел

розділ теорії чисел

Адитивна теорія чисел — розділ теорії чисел, що виник під час вивчення задач про розкладання цілих чисел на складові заданого вигляду[1] (наприклад, на прості числа, фігурні числа, і степені тощо).

Серед класичних проблем, дослідження яких заклало фундамент адитивної теорії чисел, можна назвати такі:

Сучасна адитивна теорія чисел включає широке коло задач дослідження абелевих груп і комутативних напівгруп з операцією додавання[2]. Адитивна теорія чисел тісно пов'язана з комбінаторною теорією чисел (особливо з адитивною комбінаторикою)[3] і з геометрією чисел, у ній застосовуються аналітичні, алгебричні й імовірнісні методи. В залежності від методів розв'язування, адитивні задачі входять складовою частиною в інші розділи теорії чисел — аналітичну теорію чисел, теорію алгебричних чисел, вероятностную теорию чисел[en].

ІсторіяРедагувати

Перші систематичні результати в адитивній теорії чисел отримав Леонард Ейлер, який опублікував у 1748 році дослідження (за допомогою степеневих рядів) розкладання натуральних чисел на натуральні доданки; зокрема, він розглянув задачу про розкладання числа на задану кількість доданків і довів теорему про п'ятикутні числа[en][4]. У цей же період виникли дві класичні проблеми адитивного типу: проблема Гольдбаха і проблема Воринга, надалі з'явилися десятки нових проблем. Їх вирішення ускладнюється тим, що у формулюваннях одночасно беруть участь кілька базових операцій над натуральними числами — ділення, за допомогою якого визначаються прості числа, множення, яке формує квадрати, куби тощо і додавання.

Для багатьох із цих проблем виявилися корисними такі загальні інструменти, як коловий метод Гарді – Літтлвуда[en], метод решета[en][5] та метод тригонометричних сум В. М. Виноградова. Гільберт довів[6], що для будь-якого цілого числа   будь-яке натуральне число є сумою обмеженого числа доданків у степені  . Лев Шнірельман у 1930 році ввів поняття щільності послідовності натуральних чисел, що дозволило істотно просунутися у вирішенні проблеми Гольдбаха і довести узагальнену теорему Воринга[7].

Григорій Фрейман 1964 року довів важливу теорему[en] з галузі адитивної комбінаторики.

Сучасний станРедагувати

Підмножина   називається (асимптотичним) адитивним базисом[en][8] скінченного порядку  , якщо будь-яке досить велике натуральне число   можна записати як суму не більше ніж   елементів  . Наприклад, натуральні числа самі є адитивним базисом порядку 1, оскільки кожне натуральне число тривіально є сумою не більше ніж одного натурального числа. Менш тривіальна теорема Лагранжа про суму чотирьох квадратів, яка показала, що множина квадратних чисел є адитивним базисом четвертого порядку. Інший вельми нетривіальний і широко відомий результат у цьому напрямку — теорема Виноградова[en] про те, що будь-яке досить велике непарне натуральне число можна подати як суму трьох простих чисел[9].

Багато сучасних досліджень у цій галузі стосуються загальних властивостей асимптотичних базисів скінченного порядку. Наприклад, множина   називається мінімальним асимптотичних базисом порядку   якщо   є асимптотичним базисом порядку  , але ніяка власна підмножина   не є асимптотичним базисом порядку  . Доведено[10], що мінімальні асимптотичні базиси порядку   існують для будь-якого  , а також існують асимптотичні базиси порядку  , що не містять мінімальних асимптотичних базисів порядку  .

Розглядається також проблема — наскільки можна зменшити кількість подань   у вигляді суми   елементів асимптотичного базису. Цьому присвячена досі не доведена гіпотеза Ердеша — Турана[en] (1941)[11].

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Математическая энциклопедия, 1977, с. 91.
  2. Mann, 1976.
  3. Tao, 2006.
  4. On Euler's Pentagonal Theorem at MathPages.
  5. Математическая энциклопедия, 1984, с. 979.
  6. Карацуба А. А.. Проблема Гильберта — Камке в аналитической теории чисел. Процитовано 2020-12-01. 
  7. Математика в СССР за тридцать лет. 1917—1947 / Под ред. А. Г. Куроша, А. И. Маркушевича, П. К. Рашевского. — М.-Л. : Гостехиздат, 1948. — С. 56—57.
  8. Bell, Jason; Hare, Kathryn; Shallit, Jeffrey (2018). When is an automatic set an additive basis?. Proceedings of the American Mathematical Society. Series B 5: 50—63. MR 3835513. arXiv:1710.08353. doi:10.1090/bproc/37. 
  9. Карацуба А. А. Эйлер и теория чисел // Современные проблемы математики. Вып. 11. — М. : МИАН, 2008. — С. 19—37. — ISBN 5-98419-027-3.
  10. Nathanson M. B. Minimal bases and maximal nonbases in additive number theory. — J. Number Theory. — 1974. — Vol. 6, no. 4. — P. 324—333.
  11. Grekos G., Haddad L., Helou C., Pihko J. On the Erdős–Turán conjecture. — J. Number Theory. — 2003. — Vol. 102, no. 2. — P. 339—352.

ЛітератураРедагувати

ПосиланняРедагувати