Інтеграли Френеля

Інтеграли Френеля S(x) і C(x) — це спеціальні функції, названі на честь Огюстена Жана Френеля, використовуються в оптиці. Вони виникають при розрахунку дифракції Френеля. Визначаються як:

$S(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt,\quad C(x)=\int \limits _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt.$

Параметричний графік S(x) і C(x) дає криву на площині, що називається спіраль Корню або клотоїда.

Розкладання у ряд

Нормализовані інтеграли Френеля, S(x) и C(x). На цих кривих аргумент підінтегральних тригонометричних функцій дорівнює $\pi t^{2}/2$, а не $t^{2}$, як на рисунку вище.

Інтеграли Френеля можуть бути представлені степеневими рядами, що сходяться для всіх x:

$S(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}},$

$C(x)=\int \limits _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}.$

Деякі автори використовують як аргумент тригонометричних підінтегральных функцій ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$. Отримані функції отримуються із означених вище, шляхом стискання графіка по осі Y у ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$ разів і розтягненням уздовж осі X у стільки ж разів.

Спіраль Корню

Спіраль Корню (x,y)=(C(t), S(t)). Спіраль прямує до центрів отворів за $t\rightarrow +\infty$.

Спіраль Корню, також відома як клотоїда, — це крива, що є параметричним графіком S(t) від C(t). Спіраль Корню була придумана Марі Альфредом Корню для полегшення розрахунку дифракції у прикладних задачах.

Оскільки,

$C\,'(t)^{2}+S\,'(t)^{2}=\sin ^{2}(t^{2})+\cos ^{2}(t^{2})=1,$

то у такій параметризації дотичний вектор має одиничну довжину, тому t є довгою кривою, що вимірюється від точки (0,0). Звідси, дві гілки спіралі мають нескінченну довжину.

Кривина цієї кривої у будь-якій точці пропорційна довжині дуги, що розміщується між цією точкою та початком координат. Завдяки цій властивості вона застосовується в будівництві доріг, оскільки кутове прискорення машини, що рухається по цій кривій з постійною швидкістю, буде залишатися сталим.

Властивості

• C(x) и S(x) — непарні функції x.

• Використовуючи розкладання в ряд, можна побудувати аналітичне продовження інтегралів Френеля на всю комплексну площину. Комплексні інтеграли Френеля виражаються через функцію помилок як

$S(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {-i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)$

$C(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {-i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)$.

• Інтегралы Френеля не виражаються через елементарні функції, окрім часткових випадків. Границя цих функцій при $x\rightarrow \infty$ дорівнює

$\int \limits _{0}^{\infty }\cos t^{2}\,dt=\int \limits _{0}^{\infty }\sin t^{2}\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.$

Обчислення

Контур, що використовується для обчислення граничного значення інтегралів Френеля.

Границі функцій C и S за $x\rightarrow \infty$ можуть бути знайдені за допомогою інтегрування по контуру. Для цього обраховується контурний інтеграл функції

$e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}$

по границі сектору на комплексній площині, що утворений віссю абсцис, променем $y=x$, $x\geqslant 0$ і колом з радіусом R з центром на початку координат.

При $R\rightarrow \infty$ інтеграл по дузі прямує до 0, інтеграл по дійсній осі прямує до значення інтегралу Пуасона

$\int \limits _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}dt={\sqrt {\frac {\pi }{2}}},$

і, після деяких перетворень, інтеграл уздовж променя, що залишився, може бути виражений через граничне значення інтегралу Френеля.

Див. також

• Дифракція Френеля
• Функція Доусона
• Узагальнені інтеграли Френеля

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)

Примітки

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972. (См. часть 7) [Архівовано 13 серпня 2009 у Wayback Machine.] (англ.)

Посилання

• Weisstein, Eric W. Fresnel Integrals(англ.) на сайті Wolfram MathWorld. (англ.)
• Weisstein, Eric W. Cornu Spiral(англ.) на сайті Wolfram MathWorld. (англ.)
• R. Nave, The Cornu spiral [Архівовано 15 листопада 2009 у Wayback Machine.], Hyperphysics (2002) (Використовуює πt²/2 замість t².) (англ.)
• Roller Coaster Loop Shapes. Архів оригіналу за 23 вересня 2008. Процитовано 13 серпня 2008. (англ.)