Відкрити головне меню
Графік функції помилок.

У математиці функція помилок — це неелементарна функція, що використовується в теорії ймовірності, статистиці і математичній фізиці. Вона визначається як

.

Доповнююча функція помилок, що позначається (іноді застосовується позначення ) визначається через функцію помилок:

.

Комплексна функція помилок, що позначається , також визначається через функцію помилок:

.

Зміст

ВластивостіРедагувати

 
  • Для будь-якого комплексного   виконується
 

де риска позначає комплексне спряження числа  .

  • Функція помилок не може бути представлена через елементарні функції, але, розкладаючи інтегрований вираз в ряд Тейлора і інтегруючи почленно, ми можемо одержати її подання у вигляді ряду:
 

Ця рівність виконується (і ряд сходиться) як для будь-якого дійсного  , так і на всій комплексній площині. Послідовність знаменників утворює Послідовність A007680 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

  • Для ітеративного обчислення елементів ряду корисно представити його в альтернативному вигляді:
 

оскільки   — співмножник, що перетворює  -й член ряду в  -й, вважаючи першим членом  .

  • Функція помилок на нескінченності рівна одиниці; проте це справедливо тільки при наближенні до нескінченності по дійсній осі, оскільки:
  • При розгляді функції помилок в комплексній площині точка   буде для неї істотно особливою.
  • Похідна функції помилок виводиться безпосередньо з визначення функції:
 
  • Обернена функція помилок є рядом
 

де c0 = 1 і

 

Тому ряд можна подати в наступному вигляді (помітимо, що дроби скорочені):

 [1]

Послідовності чисельників і знаменників після скорочення - A092676 і A132467 у OEIS; послідовність чисельників до скорочення - A002067 у OEIS.

 
Доповнююча функція помилок

ЗастосуванняРедагувати

Якщо набір випадкових чисел підкоряється нормальному розподілу з стандартним відхиленням  , то ймовірність, що число відхилиться від середнього не більше ніж на  , рівна  .

Функція помилок і додаткова функція помилок зустрічаються при розв'язанні деяких диференціальних рівнянь, наприклад, рівняння теплопровідності з граничними умовами, що описуються функцією Хевісайда.

У системах цифрової оптичної комунікації, ймовірність помилки на біт також виражається формулою, що використовує функцію помилок.

Асимптотичний розкладРедагувати

При великих   корисно асимптотичний розклад для додаткової функції помилок:

 

Хоча для будь-якого скінченного   цей ряд є розбіжним, на практиці перших декількох членів достатньо для обчислення   з хорошою точністю, тоді як ряд Тейлора сходиться дуже поволі.

Інше наближення дається формулою

 

де

 

Споріднені функціїРедагувати

З точністю до масштабу і зсуву, функція помилок збігається з функцією розподілу ймовірностей нормального розподілу, що позначається  

 

Зворотна функція до  , відома як нормальна квантильна функція, іноді позначається   і виражається через нормальну функцію помилок як

 

Нормальний інтегральний розподіл частіше застосовується в теорії ймовірності і математичній статистиці, тоді як функція помилок частіше застосовується в інших розділах математики.

Функція помилок є окремим випадком функції Міттаг-Лефлера, а також може бути представлена як вироджена гіпергеометрична функція (функція Куммера):

 

Функція помилок виражається також через інтеграл Френеля. У термінах регуляризованої неповної гамма-функції P і неповної гамма-функції

 

Узагальнені функції помилокРедагувати

 
Графік узагальнених функцій помилок  :
сіра лінія:  
червона лінія:  
зелена лінія:  
синя лінія:  
жовта лінія:  .

Також можна розглянути загальніші функції:

 

Окремими вартими уваги випадками є:

  •   — пряма лінія, що проходить через початок координат:  
  •   - функція помилок  .

Після ділення на   всі   з непарними   виглядають схоже (але не ідентично). Всі   з парними   теж виглядають схоже, але не ідентично, після ділення на  . Всі узагальнені функції помилок з   виглядають схоже на напівосі  .

На напівосі   всі узагальнені функції можуть бути виражені через гамма-функцію:

 

Отже, ми можемо виразити функцію помилок через гамма-функцію:

 

Ітеровані інтеграли додаткової функції помилокРедагувати

Ітеровані інтеграли додаткової функції помилок визначаються як

 

Їх можна розкласти в ряд:

 

звідки випливають властивості симетрії

 

і

 

ЛітератураРедагувати

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.