Породжений підграф
Породжений підграф графа — це інший граф, утворений з підмножини вершин графа разом з усіма ребрами, що з'єднують пари вершин з цієї підмножини.
Визначення
ред.Формально, нехай G = (V, E) — будь-який граф, і нехай S ⊂ V — підмножина вершин графа G. Тоді породжений підграф G[S] — це граф, вершинами якого є елементи S а ребра якого складаються з усіх ребер з множини E кінцеві вершини яких належать S[1]. Одне і те ж визначення підходить для неорієнтованих графів, орієнтованих графів і навіть для мультиграфів.
Породжений підграф G[S] може бути також названий підграфом, породженим у G набором вершин S або (якщо контекст не призводить до двозначності) породженим підграфом вершин S
Приклади
ред.Важливими типами підграфів є такі:
- Породжені шляхи — це породжені підграфи, які є шляхами. Найкоротший шлях між будь-якими двома вершинами в невиваженому графі завжди є породженим шляхом. І навпаки, в дистанційно-успадковуваних графах будь-який породжений граф є найкоротшим шляхом[2].
- Породжені цикли — це породжені підграфи, які є циклами. Обхват графа визначається довжиною його найкоротшого циклу, який завжди є породженим циклом. Згідно з сильною теоремою про досконалі графи породжені цикли і їх доповнення грають критичну роль у характеризації досконалих графів[3].
- Кліки і незалежні множини є породженими підграфами, які є повними підграфами або графами без ребер відповідно.
- Окіл вершини — це породжений підграф всіх суміжних вершин вибраної вершини.
Обчислення
ред.Задача ізоморфізму породжених підграфів[ru] є видом задачі пошуку ізоморфного підграфа, в якій метою є перевірка, чи може один граф бути знайдений як породжений підграф іншого графа. Оскільки ця задача включає задачу про кліку як окремий випадок, вона NP-повна [4].
Примітки
ред.- ↑ Diestel, 2006, с. 3–4.
- ↑ Howorka, 1977, с. 417–420.
- ↑ Chudnovsky, Robertson, Seymour, Thomas, 2006, с. 51–229.
- ↑ Johnson, 1985, с. 434–451.
Література
ред.- Reinhard Diestel. Graph Theory. — Springer-Verlag, 2006. — Т. 173. — С. 3–4. — (Graduate texts in mathematics). — ISBN 9783540261834.
- Рейнгард Дистель. Теория графов. — Новосибирск : Издательство Института математики, 2002. — ISBN 5-86134-101-X.
- Edward Howorka. A characterization of distance-hereditary graphs // The Quarterly Journal of Mathematics. Oxford. Second Series. — 1977. — Т. 28, вип. 112. — С. 417–420. — DOI:10.1093/qmath/28.4.417.
- Maria Chudnovsky, Neil Robertson, Paul Seymour, Robin Thomas. The strong perfect graph theorem // Annals of Mathematics. — 2006. — Т. 164, вип. 1. — С. 51–229. — DOI:10.4007/annals.2006.164.51.
- David S. Johnson. The NP-completeness column: an ongoing guide // Journal of Algorithms. — 1985. — Т. 6, вип. 3. — С. 434–451. — DOI:10.1016/0196-6774(85)90012-4.