F-алгебра

У математиці, і особливо у теорії категорій, $F$-алгебра — це алгебраїчна структура, пов'язана з функтором $F$.

Визначення

$F$-алгеброю ендофунктора

$F:{\mathcal {C}}\longrightarrow {\mathcal {C}}$

називається об'єкт $A$ з ${\mathcal {C}}$ разом з морфізмом у ${\mathcal {C}}$

$\alpha :FA\longrightarrow A$.

Таким чином, $F$-алгебра — це пара $(A,\alpha )$.

Гомоморфізмом з $F$-алгебри $(A,\alpha )$ у $F$-алгебру $(B,\beta )$ називається морфізм у ${\mathcal {C}}$

$f:A\longrightarrow B$,

для якого виконується

$f\circ \alpha =\beta \circ Ff$

Для будь-якого заданого ендофунктора $F$ можна розглянути категорію, об'єктами якої є $F$-алгебри, а морфізмами — гомоморфізми між $F$-алгебрами.

Приклади

Для прикладу, розглянемо ендофунктор $F:Set\to Set$, який відображає множину $X$ у $1+X$. Тут $Set$ є категорією множин, $1$ є скінченим об'єктом категорії $Set$ (будь-яка одноелементна множина), а $+$ — операція кодобутку (диз'юнктне об'єднання). Тоді множина N натуральних чисел разом з функцією $[\mathrm {zero} ,\mathrm {succ} ]:1+\mathbb {N} \to \mathbb {N}$, яка є кодобутком функцій $\mathrm {zero} :1\to \mathbb {N}$ (котра завжди повертає 0) та $\mathrm {succ} :\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ (котра відображає n у n+1), є $F$-алгеброй.