Число Перрена

клас натуральних чисел

В теорії чисел числами Перрена називаються члени лінійної рекурентної послідовності:

P(0) = 3, P(1) = 0, P(2) = 2,

і

P(n) = P(n − 2) + P(n − 3) для n > 2.

Послідовність чисел Перрена починається з

3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, … (послідовність A001608 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)

ІсторіяРедагувати

Цю послідовність згадав 1876 року Едуард Люка. В 1899 цю саму послідовність використовував у явному вигляді Перрен. Найглибше цю послідовність вивчили Адамс (Adams) і Шанкс (Shanks) (1982).

ВластивостіРедагувати

Твірна функціяРедагувати

Твірною функцією чисел Перрена є

 

Матричне поданняРедагувати

 

Аналог формули БінеРедагувати

Послідовність чисел Перрена можна записати в термінах степеня коренів характеристичного рівняння

 

Це рівняння має три корені. Один з цих коренів p дійсний (відомий як пластичне число). Використовуючи його і два спряжених комплексних корені q і r, можна виразити число Перрена аналогічно формулі Біне для чисел Люка:

 

Оскільки абсолютні значення комплексних коренів q і r менші від 1, степені цих коренів будуть при збільшенні n прямувати до 0. Для великих n формула спрощується до

 

Цю формулу можна використати для швидкого обчислення чисел Перрена для великих n. Відношення послідовних членів послідовності Перрена прямує до p ≈ 1.324718. Ця константа грає ту ж роль для послідовності Перрена, що й золотий перетин для чисел Люка. Аналогічний зв'язок є між p і послідовністю Падована, між золотим перетином і числами Фібоначчі, а також між срібним перетином і числами Пелля.

Формула множенняРедагувати

З формул Біне можна отримати формули для G(kn) в термінах G(n-1), G(n) і G(n+1). Відомо, що

 

Що дає систему трьох лінійних рівнянь з коефіцієнтами з поля розкладу многочлена  . Визначивши обернену матрицю, можна розв'язати рівняння й отримати  . Потім можна піднести до степеня k всі три отриманих значення і порахувати суму.

Приклад програми в системі Magma:

P<x> := PolynomialRing(Rationals());
S<t> := SplittingField(x^3-x-1); 
P2<y> := PolynomialRing(S);
p,q,r := Explode([r[1] : r in Roots(y^3-y-1)]);
Mi:=Matrix([[1/p,1/q,1/r],[1,1,1],[p,q,r]])^(-1);
T<u,v,w> := PolynomialRing(S,3);
v1 := ChangeRing(Mi,T) *Matrix([[u],[v],[w]]);
[p^i*v1[1,1]^3 + q^i*v1[2,1]^3 + r^i*v1[3,1]^3 : i in [-1..1]];

Нехай  . Розв'язавши систему, отримаємо

 

Число 23 виникає в цих формулах як дискримінант многочлена, який задає послідовність ( ).

Це дозволяє обчислювати n-е число Перрена в арифметиці цілих чисел, використовуючи   множень.

Прості й подільністьРедагувати

Псевдопрості числа ПерренаРедагувати

Доведено, що всі прості p ділять P(p). Зворотне, однак, хибне — деякі складені числа n можуть ділити P(n), такі числа називаються псевдопростими числами Перрена.

Питання про існування псевдопростих чисел Перрена розглянув сам Перрен, але було невідомо, існують вони чи ні, поки Адамс (Adams) і Шанкс (Shanks) (1982) не виявили найменшого з них, 271441 = 5212. Наступним стало  . Відомо сімнадцять псевдопростих чисел Перрена, менших від мільярда. Джон Ґрантам (Jon Grantham) довів[1], що є нескінченно багато псевдопростих чисел Перрена.

Прості числа ПерренаРедагувати

Числа Перрена, які є простими, утворюють послідовність:

2, 3, 5, 7, 17, 29, 277, 367, 853, 14197, 43721, 1442968193, 792606555396977, 187278659180417234321, 66241160488780141071579864797 послідовність A074788 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

У травні 2006 року Вайсстайн знайшов ймовірно просте число Перрена P(263226) з 32147 знаків.

ПриміткиРедагувати

  1. Jon Grantham. There are infinitely many Perrin pseudoprimes // Journal of Number Theory : journal. — 2010. — Vol. 130, no. 5 (13 April). — P. 1117—1128. — DOI:10.1016/j.jnt.2009.11.008.

ПосиланняРедагувати

ПосиланняРедагувати