Цисоїда Діокла

Цисоїда Діокла — плоска алгебрична крива третього порядку. В декартовій системі координат, де вісь абсцис спрямована за $OX$, а вісь ординат за $OY$на відрізку $OA=2a$, як на діаметрі будується допоміжне коло. В точці $A$ проводиться дотична $UV$. З точки $O$ проводиться довільна пряма $OF$, яка перетинає коло в точці $E$ і дотичну в точці $F$. Від точки $F$у напрямку точки $O$, відкладається відрізок $FM$, довжина якого дорівнює довжині відрізка $OE$. При обертанні лінії $OF$ навколо точки $O$, точка $M$ описує лінію, яка називається цисоїда Діокла. Дві гілки цієї лінії на мал. 1 показані синім і червоним кольорами.

Мал. 1. Побудова цисоїди. Синя і червона лінії — гілки цисоїди.

Рівняння

Рівняння цисоїди в прямокутній системі координат записується так:

$y^{2}={\frac {x^{3}}{2a-x}}.\qquad \qquad (1)$

Рівняння цисоїди в полярній системі координат:

$\rho ={\frac {2a\sin ^{2}\varphi }{\cos \varphi }}.$

Іноді рівняння цисоїди в полярній системі координат записують так:

$\rho ={\frac {2a\left(1-\cos ^{2}\varphi \right)}{\cos \varphi }}=$

$=2a\left({\frac {1}{\cos \varphi }}-\cos \varphi \right)=$

$=2a\left(\sec \varphi -\cos \varphi \right).$

Параметричне рівняння цисоїди:

$x={\frac {2au^{2}}{1+u^{2}}},$ $y={\frac {2au^{3}}{1+u^{2}}},$

де

$u=\mathrm {tg} \,\varphi$.

Історія

Вперше цисоїду досліджував грецький математик Діокл у II столітті до н. е. Діокл будував криву так: знаходиться точка $P$, розташована на допоміжному колі симетрично точці $E$; вісь симетрії — діаметр $BD$. З точки $P$ проводиться перпендикуляр до осі абсцис. Точка $M$, що належить цисоїді, знаходиться на перетині цього перпендикуляра і прямої $OE$. Цим методом Діокл побудував тільки криву $DOB$ всередині допоміжного кола. Якщо цю частину цисоїди ($DOB$) замкнути дугою кола $EAD$, то виходить фігура, що нагадує своєю формою листок плюща. Грецькою плющ — χισσος («хіссос»), від чого й походить назва кривої — «цисоїда».

В сучасному вигляді цисоїду відтворив французький математик Жиль Роберваль у 1640 році. Пізніше цисоїду також досліджував голландський математик Слюз.

Властивості

• Цисоїда симетрична відносно осі абсцис.
• Цисоїда перетинає допоміжне коло в точках $B$ і $D$, які належать діаметру цього кола.
• Цисоїда має один касп і асимптоту $UV$, рівняння якої: $x=2a$, де $a$ — радіус допоміжного кола.
• Цисоїда є евольвентою параболи з каспом у вершині параболи. При цьому директриса параболи є асимптотою цисоїди.

Площа між цисоїдою і асимптотою

Ця площа дорівнює:

$S_{1}=3\pi a^{2}.$

Виведення  

Площа, охоплена гілками цисоїди $KOL$ і асимптотою $UV$ $S_{1}$. Рівняння верхньої гілки $OL$:

$y={\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}}.\qquad \qquad (2)$

Половина площі, укладеної між цисоїдою і асимптотою, дорівнює інтегралу від рівняння (2) в межах від 0 до $2a$:

${\frac {1}{2}}S_{1}=\int \limits _{0}^{2a}{\sqrt {\frac {x^{3}}{2a-x}}}\,dx.\qquad \qquad (3)$

Підстановка:

$u^{2}=2a-x,\qquad x=2a-u^{2},\qquad dx=-2u\,du.$

Межі інтегрування:

$x=0\Rightarrow u={\sqrt {2a}},\qquad x=2a\Rightarrow u=0.$

Інтеграл (3) перетворюється до вигляду:

${\frac {1}{2}}S_{1}=-2\int \limits _{\sqrt {2a}}^{0}{\sqrt {(2a-u^{2})^{3}}}\,du=$

$=\left.-2\left({\frac {u}{8}}(10a-2u^{2}){\sqrt {2a-u^{2}}}+{\frac {3a^{2}}{2}}\arcsin {\frac {u}{\sqrt {2a}}}\right)\right|_{\sqrt {2a}}^{0}={\frac {3\pi a^{2}}{2}}.$

Отже:

${\frac {1}{2}}S_{1}={\frac {3\pi a^{2}}{2}}.$

$S_{1}=3\pi a^{2}.$

Об'єм тіла обертання

Об'єм ($V_{1}$) тіла, утвореного при обертанні гілки $OL$ навколо осі абсцис, розраховується так:

$V_{1}=\pi \int \limits _{0}^{2a}{\frac {x^{3}}{2a-x}}\,dx=$

$=\pi \int \limits _{0}^{2a}\left(-x^{2}-2ax-4a^{2}+{\frac {8a^{3}}{2a-x}}\right)\,dx=$

$=\left.-{\frac {44\pi a^{3}}{3}}-8\pi a^{3}(\ln(2a-x))\right|_{0}^{2a}.$

Якщо $x\to 2a$, то $\ln(2a-x)\to -\infty$, тобто $V_{1}\to \infty$.

Див. також

• Конхоїда Слюза