Хвильове рівняння акустики

У фізиці, в хвильове рівняння акустики описує поширення акустичної хвилі через матеріальне середовище, яке є диференціальним рівнянням другого роду з частинними похідними.  Рівняння описує еволюцію акустичного тиску або швидкості u як функції, яка залежить від координат х і часу . Спрощена форма рівняння описує акустичні хвилі тільки в одному просторовому вимірі, в той час як більш загальна форма описує хвилі в трьох вимірах.

Хвильове рівняння акустики був важливою точкою відліку у розвитку електромагнітного хвильового рівняння у Кельвінському майстер-класі в університеті Джонса Хопкінса.[1]

Одновимірний випадокРедагувати

РівнянняРедагувати

Річард Фейнман[2] вивів хвильове рівняння, яке описує поведінку звуку в справу в речовині в одному вимірі  як:

 

де  акустичний тиск і  швидкість звуку.[3]

Розв'язуванняРедагувати

За умови, що швидкість   є константою, яка не залежить від частоти (бездисперсійний випадок), то найбільш загальний розв'язок має вигляд

 

де   і   — будь-які двічі диференційовані функції. Це може бути зображено як суперпозицію двох хвиль довільного профілю, одна ( ) пересуваються вгору по осі x, а інша ( ) вниз по осі x зі швидкістю  . У частинному випадку синусоїдальної хвилі, яка рухається в одному напрямку, одна з цих функцій є синусоїдою, а інша рівна нулю, що дає нам такий розв'язок:

 .

де  кутова частота хвилі, а   — її хвильове число.

ОтриманняРедагувати

Хвильове рівняння можуть бути отримано на основі лінеаризованого одновимірного рівняння неперервності, лінеаризованого одновимірного рівняння сил і рівняння стану.

Рівняння стану (рівняння стану ідеального газу)

 

В адіабатичному процесі, тиск Р як функція від густини   може бути лінеаризована до

 

де C — деяка константа. Розбиваючи тиск і густину на їхні середні і загальні компоненти і вважаючи, що  :, отримаємо:

 .

Адіабатичний об'ємний модуль для рідини визначається як

 

який дає результат

 .

Ущільнення, s, визначається як зміна густини для даної рідини.

 

Лінеаризоване рівняння стану набуває вигляду

  де p - це звуковий тиск ( ).

Рівняння неперервності (збереження маси) в одному вимірі має вигляд

 .

Тут u — це швидкість потоку рідини. Рівняння знову повинно бути лінеаризоване і змінні поділені на їх середнє та змінні складові.

 

Перегруповуючи і зазначивши, що зміна густини навколишнього середовища не залежить від часу і положення, що ущільнення, помножене на швидкість — дуже мале число, отримаємо:

 

Рівняння сили Ейлера (збереження імпульсу) є останнім з необхідних компонентів. В одновимірному випадку рівняння має вигляд:

 ,

де   являє собою конвективною похідною, яка є похідною в точці, яка рухається зі середовищем.

Лінеаризація змінних:

 .

Перегруповуючи і нехтуючи малими членами, результуюче рівняння стане лінеаризованим одновимірним рівнянням Ейлера:

 .

Взявши похідну за часом в рівнянні неперервності і просторову похідну в рівнянні сили, отримаємо:

 
 .

Домноживши перше на  , віднявши друге, і підставляючи в лінеаризоване рівняння стану, отримаємо

 .

Остаточний результат

 ,

де   — швидкість поширення.

Трьохвимірний випадокРедагувати

РівнянняРедагувати

Фейнман вивів хвильове рівняння, яке описує поведінку звуку в речовині у трьох вимірах:

 

де  оператор Лапласа,  акустичний тиск і  швидкість звуку.

Подібний вигляд хвильового рівняння, але для векторного поля швидкості частинок:

 ..

У деяких ситуаціях, це рівняння є більш зручне для розв'язку хвильового рівняння для абстрактного скалярного поля потенціалу швидкості, яке має вигляд

 

з якого виводяться фізичні величини — швидкість частинок і акустичний тиск:

 ,
 .

Розв'язуванняРедагувати

Розв'язки знаходяться шляхом розділення змінних в різних системах координат. Вони є розв'язками комплексної амплітуди, тобто вони мають неявну часову залежність від фактора  , де  кутова частота. Явна залежність від часу має вигляд

 

Тут  хвильове число.

Декартові координатиРедагувати

 .

Циліндричні координатиРедагувати

 .

Сферичні координатиРедагувати

 .

ПосиланняРедагувати

  1. William Thomson, Lord Kelvin (1904) Lecture notes taken by A. S. Hathaway, Molecular dynamics and the wave theory of light, page 80, Cambridge University Press, link from Internet Archive
  2. Richard Feynman, Lectures in Physics, Volume 1, 1969, Addison Publishing Company, Addison
  3. Richard Feynman, Lectures in Physics, Volume 1, Chapter 47: Sound.

ДжерелаРедагувати

1. Літинський Святослав Володимирович. Чисельне розв’язування мішаних задач для хвильового рівняння методом перетворення Лаґерра та граничних інтегральних рівнянь.