Рівняння неперервності

Рівня́ння непере́рвності — це співвідношення між швидкістю зміни густини матерії і її потоком.

У випадку стабільних частинок, які не виникають і не зникають, рівняння неперервності виражає закон збереження кількості часток

${\frac {\partial n}{\partial t}}+{\text{div}}\,\mathbf {j} =0$,

де $n$ — це густина частинок, $\mathbf {j}$ — густина потоку цих частинок.

У випадку частинок, які можуть утворюватися й зникати внаслідок зовнішнього збудження чи реакцій між частками, рівняння неперервності узагальнюється

${\frac {\partial n}{\partial t}}+{\text{div}}\,\mathbf {j} =G-R$,

де $G$ — кількість частинок, які утворюються в одиниці об'єму в одиницю часу, а $R$ — це кількість частинок, які внаслідок розпаду чи реакцій зникають з одиниці об'єму в одиницю часу.

В електродинаміці

У випадку електричного заряду рівняння неперервності має вигляд

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\text{div}}\,\mathbf {j} =0$,

де $\rho$ — це густина заряду, $\mathbf {j}$ — густина електричного струму.

Дифузія

У випадку нерівномірного розподілу частинок певного матеріалу в іншому матеріалі з часом вони дифундують і розподіл вирівнюється. В багатьох випадках потік часток визначається нерівномірністю їхнього розподілу.

В лінійному наближені (при малих відхиленнях розподілу від рівноважного)

$\mathbf {j} =-D\nabla \rho$,

де $D$ — певна стала, яку називають коефіцієнтом дифузії.

Тоді рівняння неперервності перетворюється в рівняння дифузії

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=D\Delta \rho$,

де $\Delta ={\text{div}}\nabla$ — оператор Лапласа.

Теплопровідність

У випадку теплопровідності рівняння неперервності записується для теплоти і зводиться до рівняння теплопровідності.

Потік рідини

Для випадку потоку рідини рівняння неперервності зводиться до рівняння Нав'є-Стокса.

Див. також

• Збережний струм
• Принцип неперервності

Література

• Кучерук І. М., Горбачук І. Т., Луцик П. П. Загальний курс фізики : навч. посібник у 3-х т. — Київ : Техніка, 2006. — Т. 2 : Електрика і магнетизм.
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)