Функція Салема

Функція Салема є функцією розподілу випадкової величини $\xi ={\frac {\xi _{1}}{2}}+{\frac {\xi _{2}}{2^{2}}}+\cdots ,$ де $\xi _{n}$ — послідовність незалежних в сукупності випадкових величин, які набувають значень $0$ та $1$ з ймовірностями $p$ та $1-p$ відповідно, де $p\in \left(0;{\tfrac {1}{2}}\right)\cup \left({\tfrac {1}{2}};1\right).$

Потрібно відмітити, що при $p=0\Rightarrow \xi \in \mathrm {I} _{1},$ тобто $\xi$ має вироджений розподіл з параметром $1$ і відповідно $p=1\Rightarrow \xi \in \mathrm {I} _{0}.$ При $p={\tfrac {1}{2}}$ маємо $\xi \in U_{[0;1]},$ тобто $\xi$ має рівномірний розподіл на відрізку $[0;1].$

Актуальність

Функція Салема — одна із перших сингулярних строго зростаючих функцій на відрізку $[0;1]$. В деяких джерелах відповідну функцію називають функцією Салема-Такача. Це викликано тим, що Такач, у відповідному дослідженні, розглядав аналогічну функцію для параметра $p={\tfrac {1}{3}}.$
Функція Салема є цікавою тим, що є одним з перших прикладів строго зростаючих функцій розподілу, існування яких було далеко незрозумілим та неочевидним всілякому загалу наукового рівня відповідного характеру. У зв'язку з чим навіть в роботах достатньо визнаного характеру зустрічалось означення сингулярної функції розподілу ймовірностей наступного типу: під сингулярною функцією розподілу ймовірностей розуміють функцію розподілу множина точок росту якої має міру Лебега 0.

Властивості

Для $F_{\xi }(x)$ виконуються такі властивості:

1) $F_{\xi }(x)$ сингулярна, тобто $F_{\xi }^{'}(x)=0$ майже скрізь в розумінні міри Лебега.

2) $F_{\xi }(x)$ строго зростає на відрізку $[0;1].$

3) Для функції Салема виконується наступна функціональна рівність $F_{\xi }(x)=pF_{\xi }(2x)+(1-p)F_{\xi }(2x-1),$ причому $F_{\xi }(x)=$ ${\begin{cases}0,&x\leq 0,\\1,&x\geq 1.\end{cases}}$

Відомо, що правильне обернене твердження: якщо неперервна функція $\varphi (x)$ задовольняє умови $\varphi (x)=p\varphi (2x)+(1-p)\varphi (2x-1)$ для деякого $p\in \left(0;{\tfrac {1}{2}}\right)\cup \left({\tfrac {1}{2}};1\right)$ і ${\begin{cases}0,&x\leq 0,\\1,&x\geq 1,\end{cases}}$ то $\varphi (x)$ є функцією Салема.

4) $F_{\xi }(x)$ задовольняє умову Гьольдера з показником $\lambda =\log _{2}\max\{p;1-p\},$ який не можна покращити:

$|F_{\xi }(x_{1})+F_{\xi }(x_{2})|\leq C|x_{1}-x_{2}|^{\lambda },$ $\forall x_{1},x_{2}\in {\mathbb {R} },{\mathbb {C} }$.

5) Якщо $N_{\infty }$ — множина точок $x\in [0;1]$ таких, що $F_{\xi }^{'}(x)=+\infty ,$ то $\alpha _{0}(N_{\infty })\geq -{\frac {\ln p^{p}(1-p)^{1-p}}{\ln _{2}}},$ де $\alpha _{0}$ — розмірність Гаусдорфа-Безиковича.

6) Якщо $f_{\tau }(t)$ — характеристична функція випадкової величини $\tau ,$ то $L_{\xi }\geq \left(\prod _{n=1}^{+\infty }\left(1-4p\left(1-p\right)\sin {\tfrac {2\pi }{2^{n}}}\right)\right)^{\tfrac {1}{2}},$ де $L_{\xi }=\lim _{|t|\to +\infty }\sup |f_{\xi }(t)|$.