Відкрити головне меню

Функція Салема є функцією розподілу випадкової величини де — послідовність незалежних в сукупності випадкових величин, які набувають значень та з ймовірностями та відповідно, де

Потрібно відмітити, що при тобто має вироджений розподіл з параметром і відповідно При маємо тобто має рівномірний розподіл на відрізку

АктуальністьРедагувати

Функція Салема — одна із перших сингулярних строго зростаючих функцій на відрізку  [1]. В деяких джерелах[2] відповідну фукнкцію називають функцією Салема-Такача. Це викликано тим, що Такач, у відповідному дослідженні[3], розглядав аналогічну функцію для параметра  
Функція Салема є цікавою тим, що є одним з перших прикладів строго зростаючих функцій розподілу, існування яких було далеко незрозумілим та неочевидним всілякому загалу наукового рівня відповідного характеру. В звя'зку з чим навіть в роботах достатньо визнаного характеру[4] зустрічалось означення сингулягурної функції розподілу ймовірностей наступного типу: під сингулярною функцією розподілу ймовірностей розуміють функцію розподілу множина точок росту якої має міру Лебега 0.

ВластивостіРедагувати

Для   виконуються наступні властивості:

1)   сингулярна, тобто   майже скрізь в розумінні міри Лебега.

2)   строго зростає на відрізку  

3) Для функції Салема виконується наступна функціональна рівність   причому    

Відомо, що правильне обернене твердження: якщо неперервна функція   задовольняє умови   для деякого   і   то   є функцією Салема[5].

4)   задовольняє умову Гьольдера з показником   який не можна покращити:

   [6].

5) Якщо   — множина точок   таких, що   то   де  розмірність Гаусдорфа-Безиковича[7].

6) Якщо  характеристична функція випадкової величини   то   де  [8].

ПриміткиРедагувати

  1. Salem R. On some singular monotonic function which are strictly increasing. // Trans. Amer. Math. Soc. — 1943. — Vol.53, no.3. — 427-439 p.
  2. Працьовитий М.В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних розподiлiв. — Київ: Вид-во НПУ iменi М. П. Драгоманова, 1998. — 296 с.
  3. Tacas L. An increasing continuous singular function // Amer. Math. Mon.— 1978. — 85. — 35-37.
  4. Боровков А.А. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1986. — 432 с.
  5. Морока В.А. К вопросу о функции распределения суммы случайного степенного ряда. // Случайные процесы и бесконечномерный анализ. — Киев.: Ин-т математики АН УССР, 1992. — 88-91 с.
  6. Турбин А.Ф., Працевитий Н.В. Фрактальные множества, функции, распределения. — Київ: Наук.думка, 1992. — 208 с.
  7. Працьовитий М.В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних розподiлiв. — Київ:Вид-во НПУ iменi М.П. Драгоманова, 1998. — 296 с.
  8. Гончаренко Я.В. Асимптотичнi властивостi характеристичної функцiї випадкової величин з незалежними двiйковими цифрами та згортки сингулярних розподiлiв. // Науковi записки НПУ iменi Драгоманова. Фiзико-математичнi науки. — №3, 2002. — 376-390 с.