Тіла обертання

Тіла́ оберта́ння — об'ємні тіла, що виникають при обертанні плоскої фігури, обмеженої кривою, навколо осі, що лежить в тій же площині.

Утворення поверхні обертання

Приклади тіл обертання

• Куля — тривимірна фігура, утворена півколом, що обертається навколо діаметра розрізу
• Циліндр — тривимірна фігура, утворена прямокутником, що обертається навколо однієї із сторін

За площу бічної поверхні циліндра приймається площа її розгортки:

S_біч = 2πrh.

• Конус — тривимірна фігура, утворена прямокутним трикутником, що обертається навколо одного з катетів

За площу бічної поверхні конуса приймається площа її розгортки:

S_біч = πrl.

Площа повної поверхні конуса:

S_біч = πr(l+ r).

• Тор — тривимірна фігура, утворена колом, що обертається навколо прямої, яка не перетинає його

При обертанні контурів фігур виникає поверхня обертання (наприклад, сфера, утворена колом), в той час як при обертанні заповнених контурів виникають тіла (як куля, утворена кругом).

Ілюстрація до першої теореми Гульдіна-Паппа

Ілюстрація до другої теореми Гульдіна-Паппа

Об'єм і площа поверхні тіл обертання

Об'єм і площа поверхні тіл обертання можна дізнатися за допомогою теорем Гульдіна-Паппа.

• Перша теорема Гульдіна-Паппа стверджує:

Площа поверхні, утвореної при обертанні лінії, що лежить в площині цілком по одну сторону від осі обертання, дорівнює добутку довжини лінії s на довжину кола l = 2πrs, яке пробігає центр мас (т.С) цієї лінії.

Наприклад, для тора радіусом $R$ i з радіусом кола $r$, довжина лінії $s=2\pi r$, довжина кола для центру мас $l=2\pi R$, звідки площа поверхні тора $s\cdot l=4\pi ^{2}rR$.

• Друга теорема Гульдіна-Паппа стверджує:

Об'єм тіла, утвореного при обертанні фігури, що лежить в площині цілком по одну сторону від осі обертання, дорівнює добутку площі А фігури на довжину кола l = 2πRs, яке пробігає центр мас (т.CA) цієї фігури.

Наприклад, для тора радіусом $R$ i з радіусом кола $r$, площа кола $A=\pi r^{2}$, довжина кола обертання центру мас $l=2\pi R$, звідси об'єм тора $A\cdot l=2\pi ^{2}r^{2}R$

Див. також

• Поверхня обертання
• Фігури обертання

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Практикум з інтегрального числення: Частина ІІ. Визначений інтеграл [Архівовано 29 вересня 2016 у Wayback Machine.] / Укл.: Р. М. Дідковський, В. В. Сисоєнко, В. О. Щерба. — Черкаси: ЧДТУ, 2005. – 66 с. ISBN 966-7533-76-X ISBN 966-7533-99-9
• Дутчак Б. І., Михальчук Р. І., Матвіїв Ю. Я. Електронний навчальний посібник з дисципліни: «Вища математика». Розділ "Визначений інтеграл» (курс лекцій). — Луцьк: ЛНТУ, 2008. (електронний навчальний ресурс)

Посилання

• Тіла обертання // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 193. — ISBN 978-966-7407-83-4.
• Обчислення об’єму тіл обертання // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 432. — 594 с.