Теорема Вітні про вкладення

Теорема Вітні про вкладення стверджує:

Довільний гладкий $m$-вимірний многовид дозволяє гладке вкладення у $2m$-вимірний евклідів простір.

Наведений результат, зокрема, є оптимальним, коли $m$ — ступінь двійки: тоді $m$-вимірний проєктивний простір неможливо вкласти в $(2m-1)$-вимірний евклідів простір.

Про доведення

Випадки $m=1$ і $m=2$ розглядаються окремо. У випадку $m\geqslant 3$ легко бачити, що гладке відображення загального положення $f\colon M\to \mathbb {R} ^{2m}$ є імерсією з трансверсальними самоперетинами. Позбутися від цих самоперетинів можна, кілька разів застосувавши трюк Вітні.

Трюк Вітні

Нехай $p\in \mathbb {R} ^{2m}$ є точкою самоперетину, а $x,y\in M$ такі, що $f(x)=f(y)=p$. З'єднаймо $x$ та $y$ гладою кривою $c\colon [0,1]\to M.$ Тоді $f\circ c$ є замкнутою кривою в $\mathbb {R} ^{2m}$. Побудуймо відображення $h\colon D^{2}\to \mathbb {R} ^{2m}$ з границею $f\circ c$.

У загальному положенні $h$ є вкладення (саме тут ми використовуємо те, що $m\geqslant 3$).

Тоді можна продеформувати многовид $M$ уздовж вкладеного диска так, щоб точка самоперетину зникла. У останньому твердженні неважко переконатися, уявивши цю операцію.

Варіації та Узагальнення

Нехай M є гладке m-вимірне різноманіття, де m>1:

• Якщо m не є ступенем двійки, тоді існує вкладення M в \R^{2m-1}.
• M може бути занурене в \R^{2m-1}.
• M може бути занурене в \R^{2m-a}, де a є число одиниць у двійковому представлені числа m.
• Останній результат є оптимальним: для будь-якого m можна можна побудувати m-вимірне різноманіття (наприклад добуток речових проективних просторів), яке неможливо занурити в \R^{2m-a-1}.

Література

• В. В. Прасолов, Элементы теории гомологий, 22.1
• Skopenkov, A. (2008), Embedding and knotting of manifolds in Euclidean spaces, in: Surveys in Contemporary Mathematics, Ed. N. Young and Y. Choi, London Math. Soc. Lect. Notes., 347 (2): 248—342
• класифікація вкладень (англ.)