Відкрити головне меню

Теорема про рівнобедрений трикутник

Triangle.Isosceles.svg

Теорема про рівнобедрений трикутник (англ. isosceles triangle theorem, або лат. Pons asinorum) — класична теорема геометрії, яка стверджує, що кути, протилежні бічним сторонам рівнобедреного трикутника, рівні. Ця теорема з'являється як пропозиція 5 книги 1 «Начал» Евкліда.

Справедливо і зворотне твердження: якщо два кути невиродженого трикутника рівні, то сторони, протилежні їм, є рівними. Теорема справедлива в абсолютній геометрії, а значить і в геометрії Лобачевського, вона виконується також у сферичної геометрії.

Pons asinorumРедагувати

 
Креслення у доказі Евкліда

Ця теорема іноді називається лат. pons asinorum [ˈpons asiˈnoːrʊm] — «міст ослів».

Існують два можливих пояснення такої назви, одне полягає в тому, що креслення, яке використовується в доказі Евкліда нагадувало міст. Інше пояснення полягає в тому, що це перший серйозний доказ в «Началах» Евкліда — осли по ньому пройти не можуть.[1]

ДоказиРедагувати

Евкліда і ПроклаРедагувати

Евклід доводить додатково, що якщо бічні сторони трикутника продовжити за основу, то кути між продовженнями і основою теж рівні. Тобто,   на кресленні до доказу Евкліда.

Прокл вказує на те, що Евклід ніколи не використовує це додаткове твердження і його доказ можна трохи спростити, провівши допоміжні відрізки до бічних сторонах трикутника, а не до їх продовженням. Інша частина доказу, проходить майже без змін. Прокл, припустив, що другий висновок може бути використаний як обгрунтування в доказі наступної пропозиції, де Евклід не розглянув усі випадки.

 
Доказ Прокла

Доказ спирається на попереднє припущення в «Началах» — на те, що сьогодні називають ознака рівності трикутників по двох сторонах і куту між ними.

Доказ Прокла

Нехай   — рівнобедрений трикутник з рівними сторонами   і  . Позначимо довільну точку   на стороні   і побудуєм точку   на стороні   так, щоб  . Проведемо відрізки  ,   і  . Оскільки  ,   і кут   спільний, по рівності двох сторін і кута між ними,  , а отже рівні їх відповідні сторони і кути. Звідси кут   і   і  . Оскільки   і  , віднімання з рівних частин рівні одержуєм  . Застосовуючи знов ознаку рівності трикутників по двох сторонах і куту між ними, одержуєм, що  . Звідси   і  . Віднімаючи з рівних частин рівні одержуємо  . Знов таки за цією ознакою, одержуємо, що  . Отже  .

ПаппРедагувати

Прокл також наводить дуже короткий доказ, яке приписують Паппу. Він простіший і не вимагає додаткових побудов. У доказі застосовується ознака рівності по двох сторонах і куту між ними до трикутника і його дзеркального відображення.

Доказ Паппа

Нехай   — рівнобедрений трикутник з рівними сторонами   і  . Оскільки кут   спільний   по двох сторонах і куту між ними  . Зокрема,  , що і треба було довести

ІншіРедагувати

Доказ Паппа іноді збиває учнів тим, що потрібно порівнювати трикутник «з самим собою». Тому, часто у підручниках дається наступне більш складне доведення. Воно простіше ніж доказ Евкліда, але використовує поняття бісектриси. В «Началах» побудова бісектриси кута наводиться тільки в реченні 9. Тому порядок викладу доводиться міняти, щоб уникнути можливості кругового міркування.

Доведення

Нехай   — рівнобедрений трикутник з рівними сторонами   і  . Проведемо бісектрису кута  . Нехай   — точка перетину бісектриси з стороною  . Відзначим, що   оскільки  ,   і   спільна сторона. Отже,  , що і треба було довести.

Лежандр використовує подібні конструкції в своїх «Éléments de géométrie», но, приймаючи   як середину  . Доведення аналогічно, но використовується ознака рівності трикутників по трьох сторонах.

Див. такожРедагувати

ПриміткиРедагувати

  1. Smith D. E. History of Mathematics — 1958, Dover. — P. 284.